Номер 554, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 554, страница 129.

554. (Задача-исследование.) Решите уравнения:

а) $x^2 - 5x + 6 = 0$ и $6x^2 - 5x + 1 = 0$;

б) $2x^2 - 13x + 6 = 0$ и $6x^2 - 13x + 2 = 0$.

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).

2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$.

3) Докажите, что ваше предположение верно.

1)

а) Решим пару уравнений $x^2 - 5x + 6 = 0$ и $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$:

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Или через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{2} = 3$, $x_2 = \frac{4}{2} = 2$.

Для уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

б) Решим пару уравнений $2x^2 - 13x + 6 = 0$ и $6x^2 - 13x + 2 = 0$.

Для уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 11}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{24}{4} = 6$, $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 11}{12}$. Корни: $x_1 = \frac{24}{12} = 2$, $x_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: а) $x^2 - 5x + 6 = 0$: корни 2 и 3; $6x^2 - 5x + 1 = 0$: корни $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. б) $2x^2 - 13x + 6 = 0$: корни 6 и $\frac{1}{2}$; $6x^2 - 13x + 2 = 0$: корни 2 и $\frac{1}{6}$.

2)

Сравним результаты, полученные в пункте 1.

В паре уравнений а) корни первого уравнения (2 и 3) и корни второго ($\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$) являются взаимно обратными числами: $2 = \frac{1}{1/2}$ и $3 = \frac{1}{1/3}$.

В паре уравнений б) корни первого уравнения (6 и $\frac{1}{2}$) и корни второго ($\frac{1}{6}$ и 2) также являются взаимно обратными числами: $6 = \frac{1}{1/6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

В обоих случаях уравнения имеют вид $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, то есть коэффициенты при $x^2$ и свободный член поменялись местами.

Предположение: Если корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ существуют и не равны нулю, то они являются обратными числами к корням уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Ответ: Предположение: если $x_1, x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0, c \ne 0$), то $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}$ — корни уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

3)

Доказательство предположения.

Пусть $x_0$ — корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это значит, что выполняется равенство: $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.

Чтобы корень имел обратное ему число, он не должен быть равен нулю, то есть $x_0 \ne 0$. Если предположить, что $x_0 = 0$, то из равенства $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ следует, что $c = 0$. В этом случае второе уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ вырождается в линейное $bx + a = 0$ (если $b \ne 0$) или неверное равенство $a = 0$ (если $b=0$, а $a$ по определению квадратного уравнения не ноль), а понятие обратного корня теряет смысл. Поэтому для нашего исследования необходимо условие $c \ne 0$, что гарантирует $x_0 \ne 0$. Также по определению квадратного уравнения $a \ne 0$.

Разделим обе части равенства $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ на $x_0^2$ (мы можем это сделать, так как $x_0 \ne 0$):

$\frac{ax_0^2}{x_0^2} + \frac{bx_0}{x_0^2} + \frac{c}{x_0^2} = 0$

После сокращения получаем:

$a + b \cdot \frac{1}{x_0} + c \cdot (\frac{1}{x_0})^2 = 0$

Переставим слагаемые для наглядности:

$c(\frac{1}{x_0})^2 + b(\frac{1}{x_0}) + a = 0$

Это равенство показывает, что число $y_0 = \frac{1}{x_0}$ при подстановке в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ обращает его в верное равенство. Следовательно, $\frac{1}{x_0}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Таким образом, если $x_0$ — корень уравнения $ax^2+bx+c=0$ (при $a, c \ne 0$), то $\frac{1}{x_0}$ — корень уравнения $cx^2+bx+a=0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.