Номер 549, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 549, страница 129.

549. Решите уравнение $x^2 = 0,5x + 3$ сначала графически, а затем с помощью формулы корней.

сначала графически

Чтобы решить уравнение $x^2 = 0.5x + 3$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ (парабола) и $y = 0.5x + 3$ (прямая). Корнями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения возьмем несколько ключевых точек:
- при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
- при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
- при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$
- при $x = -1.5$, $y = (-1.5)^2 = 2.25$
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$

2. Построим график функции $y = 0.5x + 3$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти две точки:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- при $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. По построенным точкам мы можем точно определить их координаты: $(2, 4)$ и $(-1.5, 2.25)$.
Абсциссы этих точек, $x = 2$ и $x = -1.5$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1.5$.

а затем с помощью формулы корней

Сначала приведем уравнение $x^2 = 0.5x + 3$ к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 - 0.5x - 3 = 0$

Для удобства вычислений можно избавиться от дробного коэффициента, умножив все уравнение на 2:
$2(x^2 - 0.5x - 3) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Теперь коэффициенты квадратного уравнения: $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1.5$.