Номер 545, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 545, страница 128.

545. Решите уравнение:

a) $(x + 4)^2 = 3x + 40;$

б) $(2x - 3)^2 = 11x - 19;$

в) $3(x + 4)^2 = 10x + 32;$

г) $15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2;$

д) $(x + 1)^2 = 7918 - 2x;$

e) $(x + 2)^2 = 3131 - 2x;$

ж) $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2;$

з) $(x - 2)^2 + 48 = (2 - 3x)^2.$

а) $(x + 4)^2 = 3x + 40$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 3x + 40$

$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x + 16 - 3x - 40 = 0$

$x^2 + 5x - 24 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -8$.

б) $(2x - 3)^2 = 11x - 19$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 11x - 19$

$4x^2 - 12x + 9 = 11x - 19$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 12x + 9 - 11x + 19 = 0$

$4x^2 - 23x + 28 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-23) + 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-23) - 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{7}{4}$.

в) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Раскроем скобки в левой части:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 24x + 48 - 10x - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{8}{3}$.

г) $15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$15x^2 + 17 = 15(x^2 + 2x + 1)$

$15x^2 + 17 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$15x^2 - 15x^2 - 30x = 15 - 17$

$-30x = -2$

Это линейное уравнение. Найдем $x$:

$x = \frac{-2}{-30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $x = \frac{1}{15}$.

д) $(x + 1)^2 = 7918 - 2x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$

$x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 = 0$

$x^2 + 4x - 7917 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684$

$\sqrt{D} = \sqrt{31684} = 178$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87$

$x_2 = \frac{-4 - 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91$

Ответ: $x_1 = 87, x_2 = -91$.

е) $(x + 2)^2 = 3131 - 2x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 4x + 4 = 3131 - 2x$

$x^2 + 4x + 2x + 4 - 3131 = 0$

$x^2 + 6x - 3127 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3127) = 36 + 12508 = 12544$

$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-6 + 112}{2} = \frac{106}{2} = 53$

$x_2 = \frac{-6 - 112}{2} = \frac{-118}{2} = -59$

Ответ: $x_1 = 53, x_2 = -59$.

ж) $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$

Перенесем правую часть налево и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + 1)^2 - (2x - 1)^2 = 0$

$((x + 1) - (2x - 1))((x + 1) + (2x - 1)) = 0$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + 1 - 2x + 1)(x + 1 + 2x - 1) = 0$

$(-x + 2)(3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-x + 2 = 0$ или $3x = 0$

$x = 2$ или $x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

з) $(x - 2)^2 + 48 = (2 - 3x)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Заметим, что $(2-3x)^2 = (3x-2)^2$.

$(x^2 - 4x + 4) + 48 = (2)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2$

$x^2 - 4x + 52 = 4 - 12x + 9x^2$

Перенесем все члены в правую часть для удобства:

$0 = (9x^2 - x^2) + (-12x + 4x) + (4 - 52)$

$0 = 8x^2 - 8x - 48$

Разделим все уравнение на 8, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -2$.