Страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

543. Решите уравнение:

а) $25 = 26x - x^2;$

б) $3x^2 = 10 - 29x;$

в) $y^2 = 4y + 96;$

г) $3p^2 + 3 = 10p;$

д) $x^2 - 20x = 20x + 100;$

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7.$

а) $25 = 26x - x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 26x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-26$, $c=25$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-26) + 24}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{-(-26) - 24}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: $1; 25$.

б) $3x^2 = 10 - 29x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3x^2 + 29x - 10 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=29$, $c=-10$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$.
Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-29 - 31}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10$
Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

в) $y^2 = 4y + 96$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$y^2 - 4y - 96 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-96$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$.
$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-4) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$y_2 = \frac{-(-4) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: $-8; 12$.

г) $3p^2 + 3 = 10p$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$3p^2 - 10p + 3 = 0$
Коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$p_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

д) $x^2 - 20x = 20x + 100$
Соберем все члены в левой части уравнения:
$x^2 - 20x - 20x - 100 = 0$
$x^2 - 40x - 100 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-40$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1600 + 400 = 2000$.
Поскольку корень из дискриминанта не является целым числом, упростим его: $\sqrt{D} = \sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-40) + 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 20\sqrt{5}}{2} = 20 + 10\sqrt{5}$
$x_2 = \frac{-(-40) - 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 20\sqrt{5}}{2} = 20 - 10\sqrt{5}$
Ответ: $20 - 10\sqrt{5}; 20 + 10\sqrt{5}$.

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 10x^2 - 13x + 7 = 0$
$15x^2 - 13x + 7 = 0$
Коэффициенты: $a=15$, $b=-13$, $c=7$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

545. Решите уравнение:

a) $(x + 4)^2 = 3x + 40;$

б) $(2x - 3)^2 = 11x - 19;$

в) $3(x + 4)^2 = 10x + 32;$

г) $15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2;$

д) $(x + 1)^2 = 7918 - 2x;$

e) $(x + 2)^2 = 3131 - 2x;$

ж) $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2;$

з) $(x - 2)^2 + 48 = (2 - 3x)^2.$

а) $(x + 4)^2 = 3x + 40$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 3x + 40$

$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x + 16 - 3x - 40 = 0$

$x^2 + 5x - 24 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -8$.

б) $(2x - 3)^2 = 11x - 19$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 11x - 19$

$4x^2 - 12x + 9 = 11x - 19$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 12x + 9 - 11x + 19 = 0$

$4x^2 - 23x + 28 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-23) + 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-23) - 9}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{7}{4}$.

в) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Раскроем скобки в левой части:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 + 24x + 48 - 10x - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{8}{3}$.

г) $15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$15x^2 + 17 = 15(x^2 + 2x + 1)$

$15x^2 + 17 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$15x^2 - 15x^2 - 30x = 15 - 17$

$-30x = -2$

Это линейное уравнение. Найдем $x$:

$x = \frac{-2}{-30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $x = \frac{1}{15}$.

д) $(x + 1)^2 = 7918 - 2x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$

$x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 = 0$

$x^2 + 4x - 7917 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684$

$\sqrt{D} = \sqrt{31684} = 178$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87$

$x_2 = \frac{-4 - 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91$

Ответ: $x_1 = 87, x_2 = -91$.

е) $(x + 2)^2 = 3131 - 2x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 4x + 4 = 3131 - 2x$

$x^2 + 4x + 2x + 4 - 3131 = 0$

$x^2 + 6x - 3127 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3127) = 36 + 12508 = 12544$

$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-6 + 112}{2} = \frac{106}{2} = 53$

$x_2 = \frac{-6 - 112}{2} = \frac{-118}{2} = -59$

Ответ: $x_1 = 53, x_2 = -59$.

ж) $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$

Перенесем правую часть налево и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + 1)^2 - (2x - 1)^2 = 0$

$((x + 1) - (2x - 1))((x + 1) + (2x - 1)) = 0$

Раскроем внутренние скобки:

$(x + 1 - 2x + 1)(x + 1 + 2x - 1) = 0$

$(-x + 2)(3x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-x + 2 = 0$ или $3x = 0$

$x = 2$ или $x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

з) $(x - 2)^2 + 48 = (2 - 3x)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Заметим, что $(2-3x)^2 = (3x-2)^2$.

$(x^2 - 4x + 4) + 48 = (2)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2$

$x^2 - 4x + 52 = 4 - 12x + 9x^2$

Перенесем все члены в правую часть для удобства:

$0 = (9x^2 - x^2) + (-12x + 4x) + (4 - 52)$

$0 = 8x^2 - 8x - 48$

Разделим все уравнение на 8, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + 5}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - 5}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -2$.

547. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

а) $5x^2 - x - 1 = 0;$

б) $2x^2 + 7x + 4 = 0;$

в) $3(y^2 - 2) - y = 0;$

г) $y^2 + 8(y - 1) = 3.$

а) Для решения уравнения $5x^2 - x - 1 = 0$ воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=5$, $b=-1$, $c=-1$.Сначала вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21$.Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + \sqrt{21}}{10}$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - \sqrt{21}}{10}$Теперь найдем приближенные значения корней с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{21} \approx 4,58$:$x_1 \approx \frac{1 + 4,58}{10} = \frac{5,58}{10} = 0,558 \approx 0,56$$x_2 \approx \frac{1 - 4,58}{10} = \frac{-3,58}{10} = -0,358 \approx -0,36$
Ответ: $x_1 \approx 0,56$; $x_2 \approx -0,36$.

б) Рассмотрим уравнение $2x^2 + 7x + 4 = 0$. Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a=2$, $b=7$, $c=4$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.Так как $D > 0$, находим два корня:$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + \sqrt{17}}{4}$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - \sqrt{17}}{4}$Найдем приближенные значения, используя $\sqrt{17} \approx 4,12$:$x_1 \approx \frac{-7 + 4,12}{4} = \frac{-2,88}{4} = -0,72$$x_2 \approx \frac{-7 - 4,12}{4} = \frac{-11,12}{4} = -2,78$
Ответ: $x_1 \approx -0,72$; $x_2 \approx -2,78$.

в) Решим уравнение $3(y^2 - 2) - y = 0$. Сначала преобразуем его к стандартному виду $ay^2 + by + c = 0$:$3y^2 - 6 - y = 0$$3y^2 - y - 6 = 0$Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=-6$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$.Корни уравнения:$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - \sqrt{73}}{6}$Найдем приближенные значения, используя $\sqrt{73} \approx 8,54$:$y_1 \approx \frac{1 + 8,54}{6} = \frac{9,54}{6} = 1,59$$y_2 \approx \frac{1 - 8,54}{6} = \frac{-7,54}{6} \approx -1,2566... \approx -1,26$
Ответ: $y_1 \approx 1,59$; $y_2 \approx -1,26$.

г) Решим уравнение $y^2 + 8(y - 1) = 3$. Приведем его к стандартному виду:$y^2 + 8y - 8 = 3$$y^2 + 8y - 8 - 3 = 0$$y^2 + 8y - 11 = 0$Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=-11$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 64 + 44 = 108$.Корни уравнения:$y_1 = \frac{-8 + \sqrt{108}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + \sqrt{108}}{2}$$y_2 = \frac{-8 - \sqrt{108}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - \sqrt{108}}{2}$Найдем приближенные значения, используя $\sqrt{108} \approx 10,39$:$y_1 \approx \frac{-8 + 10,39}{2} = \frac{2,39}{2} = 1,195 \approx 1,20$$y_2 \approx \frac{-8 - 10,39}{2} = \frac{-18,39}{2} = -9,195 \approx -9,20$
Ответ: $y_1 \approx 1,20$; $y_2 \approx -9,20$.

542. Решите уравнение:

а) $5x^2 = 9x + 2;$

б) $-x^2 = 5x - 14;$

в) $6x + 9 = x^2;$

г) $z - 5 = z^2 - 25;$

д) $y^2 = 52y - 576;$

е) $15y^2 - 30 = 22y + 7;$

ж) $25p^2 = 10p - 1;$

з) $299x^2 + 100x = 500 - 101x^2.$

а) Для решения уравнения $5x^2 = 9x + 2$ приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$ путем переноса всех членов в левую часть:
$5x^2 - 9x - 2 = 0$
Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -9$, $c = -2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2$
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -0.2$.

б) Для решения уравнения $-x^2 = 5x - 14$ приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в одну сторону (например, вправо, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным):
$0 = x^2 + 5x - 14$, или $x^2 + 5x - 14 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -7$.

в) Для решения уравнения $6x + 9 = x^2$ приведем его к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -9$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Так как $\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$:
$x_1 = \frac{-(-6) + 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-(-6) - 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$
Ответ: $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}, x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$.

г) Для решения уравнения $z - 5 = z^2 - 25$ приведем его к стандартному виду:
$z^2 - z - 25 + 5 = 0$
$z^2 - z - 20 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$z_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: $z_1 = 5, z_2 = -4$.

д) Для решения уравнения $y^2 = 52y - 576$ приведем его к стандартному виду:
$y^2 - 52y + 576 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -52$, $c = 576$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 - 2304 = 400$
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-52) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{52 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$y_2 = \frac{-(-52) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{52 - 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Ответ: $y_1 = 36, y_2 = 16$.

е) Для решения уравнения $15y^2 - 30 = 22y + 7$ приведем его к стандартному виду:
$15y^2 - 22y - 30 - 7 = 0$
$15y^2 - 22y - 37 = 0$
Коэффициенты: $a = 15$, $b = -22$, $c = -37$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704$
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Так как $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$:
$y_1 = \frac{-(-22) + 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 + 52}{30} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15}$
$y_2 = \frac{-(-22) - 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 - 52}{30} = \frac{-30}{30} = -1$
Ответ: $y_1 = \frac{37}{15}, y_2 = -1$.

ж) Для решения уравнения $25p^2 = 10p - 1$ приведем его к стандартному виду:
$25p^2 - 10p + 1 = 0$
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности: $(5p)^2 - 2 \cdot 5p \cdot 1 + 1^2 = (5p - 1)^2$.
$(5p - 1)^2 = 0$
$5p - 1 = 0$
$5p = 1$
$p = \frac{1}{5}$
Уравнение имеет один корень кратности 2.
Ответ: $p = \frac{1}{5}$.

з) Для решения уравнения $299x^2 + 100x = 500 - 101x^2$ приведем его к стандартному виду:
$299x^2 + 101x^2 + 100x - 500 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$400x^2 + 100x - 500 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 100:
$4x^2 + x - 5 = 0$
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 1$, $c = -5$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{5}{4}$.

544. Найдите корни уравнения:

а) $(2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5};$

б) $(3x - 1)(x + 3) = x(1 + 6x);$

в) $(x - 1)(x + 1) = 2(5x - 10\frac{1}{2});$

г) $-x(x + 7) = (x - 2)(x + 2).$

а) $(2x-3)(5x+1) = 2x+\frac{2}{5}$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(2x \cdot 5x) + (2x \cdot 1) - (3 \cdot 5x) - (3 \cdot 1) = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$10x^2 - 13x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$10x^2 - 13x - 2x - 3 - \frac{2}{5} = 0$

$10x^2 - 15x - (3 + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - (\frac{15}{5} + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (10x^2 - 15x - \frac{17}{5}) = 5 \cdot 0$

$50x^2 - 75x - 17 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=50, b=-75, c=-17$.

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$

$x_1 = \frac{-(-75) + 95}{2 \cdot 50} = \frac{75 + 95}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$

$x_2 = \frac{-(-75) - 95}{2 \cdot 50} = \frac{75 - 95}{100} = \frac{-20}{100} = -0.2$

Ответ: $1.7; -0.2$.

б) $(3x-1)(x+3) = x(1+6x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 9x - x - 3 = x + 6x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 8x - 3 = x + 6x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приравняем к нулю:

$0 = (6x^2 - 3x^2) + (x - 8x) + 3$

$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=3, b=-7, c=3$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{13}}{6}; \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

в) $(x-1)(x+1) = 2(5x-10\frac{1}{2})$

Упростим обе части уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части преобразуем смешанное число в неправильную дробь и раскроем скобки:

$10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$

Подставим в уравнение:

$x^2 - 1^2 = 2(5x - \frac{21}{2})$

$x^2 - 1 = 2 \cdot 5x - 2 \cdot \frac{21}{2}$

$x^2 - 1 = 10x - 21$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 10x - 1 + 21 = 0$

$x^2 - 10x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=1, b=-10, c=20$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

Ответ: $5 + \sqrt{5}; 5 - \sqrt{5}$.

г) $-x(x+7) = (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов:

$-x \cdot x - x \cdot 7 = x^2 - 2^2$

$-x^2 - 7x = x^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$0 = x^2 - 4 + x^2 + 7x$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Здесь $a=2, b=7, c=-4$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $0.5; -4$.

546. Решите уравнение:

а) $ \frac{x^2-1}{2} - 11x = 11; $

б) $ \frac{x^2+x}{2} = \frac{8x-7}{3}; $

в) $ \frac{4x^2-1}{3} = x(10x-9); $

г) $ \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4}. $

а) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (\frac{x^2 - 1}{2}) - 2 \cdot 11x = 2 \cdot 11$
$x^2 - 1 - 22x = 22$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$
$x^2 - 22x - 23 = 0$
Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=-22, c=-23$
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
Теперь найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-22) + 24}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$
$x_2 = \frac{-(-22) - 24}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: $x_1 = 23, x_2 = -1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$.
Это пропорция, поэтому мы можем использовать правило перекрестного умножения:
$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3x^2 + 3x = 16x - 14$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$
$3x^2 - 13x + 14 = 0$
Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=3, b=-13, c=14$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = 2$.

в) Исходное уравнение: $\frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9)$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x^2 - 1 = 3x(10x - 9)$
Раскроем скобки в правой части:
$4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x$
Перенесем все члены в правую часть для получения стандартного вида:
$0 = 30x^2 - 4x^2 - 27x + 1$
$26x^2 - 27x + 1 = 0$
Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=26, b=-27, c=1$
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-27) + 25}{2 \cdot 26} = \frac{27 + 25}{52} = \frac{52}{52} = 1$
$x_2 = \frac{-(-27) - 25}{2 \cdot 26} = \frac{27 - 25}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{26}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4}$.
Сначала перегруппируем члены, собрав слагаемые с $x^2$ и $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:
$\frac{3}{4}x^2 - \frac{4}{5}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{3}{4}$
Приведем дроби с $x^2$ к общему знаменателю 20:
$(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4})x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{3}{4}$
$(\frac{15}{20} - \frac{16}{20})x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{3}{4}$
$-\frac{1}{20}x^2 - \frac{2}{5}x - \frac{3}{4} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на наименьший общий знаменатель (20):
$20 \cdot (-\frac{1}{20}x^2) - 20 \cdot (\frac{2}{5}x) - 20 \cdot (\frac{3}{4}) = 0$
$-x^2 - 8x - 15 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$x^2 + 8x + 15 = 0$
Найдем корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -8$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 15$. Подбором находим корни -3 и -5.
Проверим с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a=1, b=8, c=15$
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$
$x_1 = \frac{-8 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -5$.

548. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение:

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$; б) $x^2 - 4x + 2 = 0$.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

Для графического решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ можно использовать два основных подхода:

1. Построить график параболы $y = ax^2 + bx + c$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения.
2. Преобразовать уравнение к виду $ax^2 = -bx - c$. В этом случае решение сводится к нахождению точек пересечения двух более простых графиков: параболы $y = ax^2$ и прямой $y = -bx - c$. Абсциссы точек пересечения являются корнями исходного уравнения.

Второй метод часто является более удобным, так как парабола $y = x^2$ (в случае, когда $a=1$, как в наших заданиях) является стандартной и ее легко построить по известным точкам. Построение прямой также не вызывает затруднений (достаточно найти координаты двух точек). Этот метод избавляет от необходимости вычислять координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$, что упрощает построение.

Поэтому для решения уравнений а) и б) выберем второй метод, представив их в виде $x^2 = f(x)$.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Представим уравнение в виде $x^2 = 2x + 1$.

Построим в одной системе координат графики двух функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 1$.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$.

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы (координаты $x$) этих точек являются решениями уравнения. Определим их приблизительные значения по графику.

Первая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_1 \approx -0.4$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_2 \approx 2.4$.

Ответ: $x_1 \approx -0.4, x_2 \approx 2.4$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

Представим уравнение в виде $x^2 = 4x - 2$.

Построим в одной системе координат графики двух функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4x - 2$.

График функции $y = x^2$ — та же стандартная парабола.

График функции $y = 4x - 2$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Построив графики, найдем абсциссы точек их пересечения. Они приблизительно равны:

Первая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_1 \approx 0.6$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_2 \approx 3.4$.

Ответ: $x_1 \approx 0.6, x_2 \approx 3.4$.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим уравнение с помощью формулы корней для $ax^2+bx+c=0$. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Точные значения корней: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Для сравнения с графическим решением вычислим приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$.

$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$.

Сравнение: Значения, полученные с помощью формулы ($x_1 \approx -0.414$, $x_2 \approx 2.414$), очень близки к значениям, найденным графически ($x_1 \approx -0.4$, $x_2 \approx 2.4$). Это подтверждает, что графическое решение было выполнено верно с учетом естественной для этого метода погрешности.

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}, x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

Решим уравнение с помощью формулы корней. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Точные значения корней: $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$.

Для сравнения с графическим решением вычислим приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$.

$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$.

Сравнение: Значения, полученные с помощью формулы ($x_1 \approx 0.586$, $x_2 \approx 3.414$), очень близки к значениям, найденным графически ($x_1 \approx 0.6$, $x_2 \approx 3.4$). Это также подтверждает правильность графического решения.

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{2}, x_2 = 2 + \sqrt{2}$.