Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

549. Решите уравнение $x^2 = 0,5x + 3$ сначала графически, а затем с помощью формулы корней.

сначала графически

Чтобы решить уравнение $x^2 = 0.5x + 3$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ (парабола) и $y = 0.5x + 3$ (прямая). Корнями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения возьмем несколько ключевых точек:
- при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
- при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
- при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
- при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$
- при $x = -1.5$, $y = (-1.5)^2 = 2.25$
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$

2. Построим график функции $y = 0.5x + 3$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти две точки:
- при $x = 0$, $y = 0.5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- при $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Совместив графики на одной координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. По построенным точкам мы можем точно определить их координаты: $(2, 4)$ и $(-1.5, 2.25)$.
Абсциссы этих точек, $x = 2$ и $x = -1.5$, являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1.5$.

а затем с помощью формулы корней

Сначала приведем уравнение $x^2 = 0.5x + 3$ к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:
$x^2 - 0.5x - 3 = 0$

Для удобства вычислений можно избавиться от дробного коэффициента, умножив все уравнение на 2:
$2(x^2 - 0.5x - 3) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Теперь коэффициенты квадратного уравнения: $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1.5$.

551. Решите уравнение:

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2;$

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2;$

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0;$

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0;$

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0;$

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0.$

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в левую часть:

$0,7x^2 - 1,3x - 2 = 0$

Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,7x^2 - 1,3x - 2) = 10 \cdot 0$

$7x^2 - 13x - 20 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=7, b=-13, c=-20$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20) = 169 + 560 = 729$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{729}}{2 \cdot 7} = \frac{13 + 27}{14} = \frac{40}{14} = \frac{20}{7}$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{729}}{2 \cdot 7} = \frac{13 - 27}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{20}{7}, x_2 = -1$.

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$:

$\frac{1}{5}y^2 + 0,4y - 7 = 0$

Преобразуем коэффициенты к одному виду. Заметим, что $\frac{1}{5} = 0,2$.

$0,2y^2 + 0,4y - 7 = 0$

Умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2y^2 + 4y - 70 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$y^2 + 2y - 35 = 0$

Решим уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $y_1 = 5, y_2 = -7$.

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0$

Уравнение уже имеет стандартный вид. Для удобства вычислений умножим обе части на 100:

$100x^2 - 160x - 36 = 0$

Все коэффициенты делятся на 4, разделим уравнение на 4:

$25x^2 - 40x - 9 = 0$

Найдем дискриминант. Коэффициенты: $a=25, b=-40, c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-9) = 1600 + 900 = 2500$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 25} = \frac{40 + 50}{50} = \frac{90}{50} = \frac{9}{5} = 1,8$

$x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 25} = \frac{40 - 50}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5} = -0,2$

Ответ: $x_1 = 1,8, x_2 = -0,2$.

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0$

Уравнение представлено в стандартном виде. Найдем его дискриминант. Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=2,91$.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,91 = 4 - 11,64 = -7,64$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$5 \cdot (0,2y^2 - 10y + 125) = 5 \cdot 0$

$y^2 - 50y + 625 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(y)^2 - 2 \cdot y \cdot 25 + (25)^2 = (y - 25)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y - 25 = 0$.

$y = 25$

Также можно было найти дискриминант для уравнения $y^2 - 50y + 625 = 0$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$

При $D=0$ уравнение имеет один корень: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-50)}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$.

Ответ: $y = 25$.

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9) = 3 \cdot 0$

$x^2 + 6x - 27 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=6, c=-27$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -9$.

553. Существует ли такое значение $a$, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$;

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$?

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$

Чтобы определить, существует ли такое значение $a$, при котором равенство верно, необходимо решить данное уравнение. Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$9a^2 - 3a + 0,36 - 0,6 = 0$

$9a^2 - 3a - 0,24 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=9$, $B=-3$, $C=-0,24$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-0,24) = 9 + 36 \cdot 0,24 = 9 + 8,64 = 17,64$

Так как дискриминант $D = 17,64 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, искомое значение $a$ существует.

Найдем эти значения по формуле корней квадратного уравнения $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17,64}}{2 \cdot 9} = \frac{3 \pm 4,2}{18}$

Вычисляем два корня:

$a_1 = \frac{3 + 4,2}{18} = \frac{7,2}{18} = 0,4$

$a_2 = \frac{3 - 4,2}{18} = \frac{-1,2}{18} = -\frac{12}{180} = -\frac{1}{15}$

Ответ: да, существует. $a = 0,4$ или $a = -1/15$.

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$

Аналогично предыдущему пункту, приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$0,16a^2 - 0,4a + 1,44 - 1,2 = 0$

$0,16a^2 - 0,4a + 0,24 = 0$

Для упрощения вычислений умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$16a^2 - 40a + 24 = 0$

Все коэффициенты делятся на 8. Разделим обе части уравнения на 8 для дальнейшего упрощения:

$2a^2 - 5a + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-5$, $C=3$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D = 1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, искомое значение $a$ существует.

Найдем эти значения по формуле $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$

Вычисляем два корня:

$a_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$a_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: да, существует. $a = 1,5$ или $a = 1$.

555. Существует ли такое значение $a$, при котором уравнение

$x^2 - ax + a - 4 = 0:$

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Количество корней такого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = B^2 - 4AC$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Для уравнения $x^2 - ax + a - 4 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 1$, $B = -a$, $C = a - 4$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16$.

Теперь нам нужно исследовать знак выражения $a^2 - 4a + 16$ в зависимости от параметра $a$. Это квадратичная функция относительно $a$. Мы можем проанализировать ее, выделив полный квадрат:

$a^2 - 4a + 16 = (a^2 - 4a + 4) + 12 = (a - 2)^2 + 12$.

Выражение $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$. Следовательно, минимальное значение дискриминанта $D$ равно $12$ (при $a=2$), и в общем случае $D = (a - 2)^2 + 12 \ge 12$.

Таким образом, дискриминант $D$ всегда строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $a$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) не имеет корней;

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. В нашем случае $D = (a - 2)^2 + 12$. Так как $(a - 2)^2 \ge 0$, то $D \ge 12$. Условие $D < 0$ никогда не выполняется.

Ответ: не существует такого значения $a$.

б) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, если $D = 0$. Так как мы выяснили, что минимальное значение дискриминанта равно 12, условие $D = 0$ никогда не выполняется.

Ответ: не существует такого значения $a$.

в) имеет два корня?

Уравнение имеет два корня, если $D > 0$. Поскольку $D = (a - 2)^2 + 12 \ge 12$, дискриминант всегда положителен при любом действительном значении $a$.

Ответ: да, существует. Уравнение имеет два различных корня при любом действительном значении $a$.

550. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):

a) $x^2 - 8x + 9 = 0;$

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0.$

а) $x^2 - 8x + 9 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-8$, $c=9$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$.

Таким образом, точные значения корней:

$x_1 = 4 + \sqrt{7}$

$x_2 = 4 - \sqrt{7}$

3. Найдем приближенные значения корней с точностью до 0,01, используя калькулятор:

$\sqrt{7} \approx 2,64575...$

$x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 4 + 2,64575... \approx 6,64575... \approx 6,65$.

$x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2,64575... \approx 1,35424... \approx 1,35$.

Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{7} \approx 6,65$; $x_2 = 4 - \sqrt{7} \approx 1,35$.

б) $2y^2 - 8y + 5 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$ с коэффициентами: $a=2$, $b=-8$, $c=5$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 6}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2(4 \pm \sqrt{6})}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$.

Таким образом, точные значения корней:

$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

3. Найдем приближенные значения корней с точностью до 0,01, используя калькулятор:

$\sqrt{6} \approx 2,44948...$

$y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,44948...}{2} = \frac{6,44948...}{2} \approx 3,22474... \approx 3,22$.

$y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,44948...}{2} = \frac{1,55051...}{2} \approx 0,77525... \approx 0,78$.

Ответ: $y_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} \approx 3,22$; $y_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \approx 0,78$.

552. При каких значениях x верно равенство:

а) $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$;

б) $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$;

в) $4x^2 = 7x + 7,5$;

г) $6x^2 - 2 = x?$

а) Чтобы решить уравнение $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 = 7(2x - 7)$
$x^2 = 14x - 49$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 14x + 49 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В данном случае $a=7$.
$(x - 7)^2 = 0$
Из этого следует, что уравнение имеет один корень:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Ответ: 7

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$.
Для удобства преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + \frac{6}{5} = \frac{13}{5}x$.
Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
$5x^2 + 6 = 13x$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 13x + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=5, b=-13, c=6$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$
$x_2 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$
Ответ: 0,6; 2

в) Рассмотрим уравнение $4x^2 = 7x + 7,5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 - 7x - 7,5 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$8x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$a=8, b=-14, c=-15$
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. ($\sqrt{676} = 26$)
$x_1 = \frac{14 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$
$x_2 = \frac{14 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: -0,75; 2,5

г) Рассмотрим уравнение $6x^2 - 2 = x$.
Приведем его к стандартному виду, перенеся $x$ в левую часть:
$6x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6, b=-1, c=-2$. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$

554. (Задача-исследование.) Решите уравнения:

а) $x^2 - 5x + 6 = 0$ и $6x^2 - 5x + 1 = 0$;

б) $2x^2 - 13x + 6 = 0$ и $6x^2 - 13x + 2 = 0$.

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).

2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$.

3) Докажите, что ваше предположение верно.

1)

а) Решим пару уравнений $x^2 - 5x + 6 = 0$ и $6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$:

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Или через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{2} = 3$, $x_2 = \frac{4}{2} = 2$.

Для уравнения $6x^2 - 5x + 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$. Корни: $x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

б) Решим пару уравнений $2x^2 - 13x + 6 = 0$ и $6x^2 - 13x + 2 = 0$.

Для уравнения $2x^2 - 13x + 6 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 11}{4}$. Корни: $x_1 = \frac{24}{4} = 6$, $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для уравнения $6x^2 - 13x + 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 11}{12}$. Корни: $x_1 = \frac{24}{12} = 2$, $x_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: а) $x^2 - 5x + 6 = 0$: корни 2 и 3; $6x^2 - 5x + 1 = 0$: корни $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. б) $2x^2 - 13x + 6 = 0$: корни 6 и $\frac{1}{2}$; $6x^2 - 13x + 2 = 0$: корни 2 и $\frac{1}{6}$.

2)

Сравним результаты, полученные в пункте 1.

В паре уравнений а) корни первого уравнения (2 и 3) и корни второго ($\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$) являются взаимно обратными числами: $2 = \frac{1}{1/2}$ и $3 = \frac{1}{1/3}$.

В паре уравнений б) корни первого уравнения (6 и $\frac{1}{2}$) и корни второго ($\frac{1}{6}$ и 2) также являются взаимно обратными числами: $6 = \frac{1}{1/6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

В обоих случаях уравнения имеют вид $ax^2 + bx + c = 0$ и $cx^2 + bx + a = 0$, то есть коэффициенты при $x^2$ и свободный член поменялись местами.

Предположение: Если корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ существуют и не равны нулю, то они являются обратными числами к корням уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Ответ: Предположение: если $x_1, x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0, c \ne 0$), то $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}$ — корни уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

3)

Доказательство предположения.

Пусть $x_0$ — корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это значит, что выполняется равенство: $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.

Чтобы корень имел обратное ему число, он не должен быть равен нулю, то есть $x_0 \ne 0$. Если предположить, что $x_0 = 0$, то из равенства $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ следует, что $c = 0$. В этом случае второе уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ вырождается в линейное $bx + a = 0$ (если $b \ne 0$) или неверное равенство $a = 0$ (если $b=0$, а $a$ по определению квадратного уравнения не ноль), а понятие обратного корня теряет смысл. Поэтому для нашего исследования необходимо условие $c \ne 0$, что гарантирует $x_0 \ne 0$. Также по определению квадратного уравнения $a \ne 0$.

Разделим обе части равенства $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ на $x_0^2$ (мы можем это сделать, так как $x_0 \ne 0$):

$\frac{ax_0^2}{x_0^2} + \frac{bx_0}{x_0^2} + \frac{c}{x_0^2} = 0$

После сокращения получаем:

$a + b \cdot \frac{1}{x_0} + c \cdot (\frac{1}{x_0})^2 = 0$

Переставим слагаемые для наглядности:

$c(\frac{1}{x_0})^2 + b(\frac{1}{x_0}) + a = 0$

Это равенство показывает, что число $y_0 = \frac{1}{x_0}$ при подстановке в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ обращает его в верное равенство. Следовательно, $\frac{1}{x_0}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Таким образом, если $x_0$ — корень уравнения $ax^2+bx+c=0$ (при $a, c \ne 0$), то $\frac{1}{x_0}$ — корень уравнения $cx^2+bx+a=0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.