Номер 552, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 552, страница 129.

552. При каких значениях x верно равенство:

а) $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$;

б) $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$;

в) $4x^2 = 7x + 7,5$;

г) $6x^2 - 2 = x?$

а) Чтобы решить уравнение $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$x^2 = 7(2x - 7)$
$x^2 = 14x - 49$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 14x + 49 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В данном случае $a=7$.
$(x - 7)^2 = 0$
Из этого следует, что уравнение имеет один корень:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Ответ: 7

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$.
Для удобства преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + \frac{6}{5} = \frac{13}{5}x$.
Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
$5x^2 + 6 = 13x$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 13x + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=5, b=-13, c=6$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$
$x_2 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$
Ответ: 0,6; 2

в) Рассмотрим уравнение $4x^2 = 7x + 7,5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 - 7x - 7,5 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$8x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$a=8, b=-14, c=-15$
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. ($\sqrt{676} = 26$)
$x_1 = \frac{14 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$
$x_2 = \frac{14 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: -0,75; 2,5

г) Рассмотрим уравнение $6x^2 - 2 = x$.
Приведем его к стандартному виду, перенеся $x$ в левую часть:
$6x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6, b=-1, c=-2$. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$