Номер 548, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 548, страница 128.

548. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение:

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$; б) $x^2 - 4x + 2 = 0$.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

Для графического решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ можно использовать два основных подхода:

1. Построить график параболы $y = ax^2 + bx + c$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения.
2. Преобразовать уравнение к виду $ax^2 = -bx - c$. В этом случае решение сводится к нахождению точек пересечения двух более простых графиков: параболы $y = ax^2$ и прямой $y = -bx - c$. Абсциссы точек пересечения являются корнями исходного уравнения.

Второй метод часто является более удобным, так как парабола $y = x^2$ (в случае, когда $a=1$, как в наших заданиях) является стандартной и ее легко построить по известным точкам. Построение прямой также не вызывает затруднений (достаточно найти координаты двух точек). Этот метод избавляет от необходимости вычислять координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$, что упрощает построение.

Поэтому для решения уравнений а) и б) выберем второй метод, представив их в виде $x^2 = f(x)$.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Представим уравнение в виде $x^2 = 2x + 1$.

Построим в одной системе координат графики двух функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 1$.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветвями вверх, проходящая через точки $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$.

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы (координаты $x$) этих точек являются решениями уравнения. Определим их приблизительные значения по графику.

Первая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_1 \approx -0.4$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_2 \approx 2.4$.

Ответ: $x_1 \approx -0.4, x_2 \approx 2.4$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

Представим уравнение в виде $x^2 = 4x - 2$.

Построим в одной системе координат графики двух функций: параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4x - 2$.

График функции $y = x^2$ — та же стандартная парабола.

График функции $y = 4x - 2$ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x = 1$, $y = 4 \cdot 1 - 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Построив графики, найдем абсциссы точек их пересечения. Они приблизительно равны:

Первая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_1 \approx 0.6$.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу примерно $x_2 \approx 3.4$.

Ответ: $x_1 \approx 0.6, x_2 \approx 3.4$.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим уравнение с помощью формулы корней для $ax^2+bx+c=0$. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Точные значения корней: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Для сравнения с графическим решением вычислим приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$.

$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$.

Сравнение: Значения, полученные с помощью формулы ($x_1 \approx -0.414$, $x_2 \approx 2.414$), очень близки к значениям, найденным графически ($x_1 \approx -0.4$, $x_2 \approx 2.4$). Это подтверждает, что графическое решение было выполнено верно с учетом естественной для этого метода погрешности.

Ответ: $x_1 = 1 - \sqrt{2}, x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

Решим уравнение с помощью формулы корней. Здесь коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Точные значения корней: $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$.

Для сравнения с графическим решением вычислим приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$.

$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$.

Сравнение: Значения, полученные с помощью формулы ($x_1 \approx 0.586$, $x_2 \approx 3.414$), очень близки к значениям, найденным графически ($x_1 \approx 0.6$, $x_2 \approx 3.4$). Это также подтверждает правильность графического решения.

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{2}, x_2 = 2 + \sqrt{2}$.