Номер 541, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 541, страница 127.

541. Решите уравнение:

а) $2x^2 - 5x - 3 = 0;$

б) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

в) $5x^2 + 9x + 4 = 0;$

г) $36y^2 - 12y + 1 = 0;$

д) $3t^2 - 3t + 1 = 0;$

е) $x^2 + 9x - 22 = 0;$

ж) $y^2 - 12y + 32 = 0;$

з) $100x^2 - 160x + 63 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$ найдем дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Подставляем значения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. $x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$. Ответ: $3; -0.5$.

б) В уравнении $3x^2 - 8x + 5 = 0$ коэффициенты равны $a=3$, $b=-8$, $c=5$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$. Так как $D > 0$, есть два корня. Найдем их: $x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$. $x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Ответ: $1; 1\frac{2}{3}$.

в) Для уравнения $5x^2 + 9x + 4 = 0$ ($a=5, b=9, c=4$) вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$. Так как $D > 0$, находим два корня: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 1}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$. $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 1}{10} = \frac{-10}{10} = -1$. Ответ: $-1; -0.8$.

г) Уравнение $36y^2 - 12y + 1 = 0$ является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=6y$ и $b=1$. Получаем: $(6y - 1)^2 = 0$. Отсюда $6y - 1 = 0$, $6y = 1$, $y = \frac{1}{6}$. Также можно решить через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$. При $D=0$ корень один: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

д) В уравнении $3t^2 - 3t + 1 = 0$ ($a=3, b=-3, c=1$) найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет действительных корней.

е) Для решения уравнения $x^2 + 9x - 22 = 0$ можно использовать теорему Виета, так как это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Сумма корней $x_1 + x_2 = -9$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -22$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -11$. Проверка через дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-9 \pm 13}{2}$, что дает $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{-22}{2} = -11$. Ответ: $-11; 2$.

ж) Уравнение $y^2 - 12y + 32 = 0$ также является приведенным. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 12$ и $y_1 \cdot y_2 = 32$. Подбираем корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 8$. Проверка через дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$. Корни: $y_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$, что дает $y_1 = \frac{16}{2} = 8$ и $y_2 = \frac{8}{2} = 4$. Ответ: $4; 8$.

з) Решим уравнение $100x^2 - 160x + 63 = 0$. Коэффициенты: $a=100, b=-160, c=63$. $D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 63 = 25600 - 25200 = 400$. $x_1 = \frac{-(-160) + \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 + 20}{200} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10} = 0.9$. $x_2 = \frac{-(-160) - \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 - 20}{200} = \frac{140}{200} = \frac{7}{10} = 0.7$. Ответ: $0.7; 0.9$.