Номер 537, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Формула корней квадратного уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 537, страница 127.

537. При каких значениях x:

a) трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1;

б) значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны;

в) двучлен $7x + 1$ равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$;

г) трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$?

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1, необходимо составить и решить уравнение:

$x^2 - 11x + 31 = 1$

Перенесём 1 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 11x + 31 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдём по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: 5; 6.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны, нужно приравнять их и решить полученное уравнение:

$x^2 - 5x - 3 = 2x - 5$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые:

$x^2 - 5x - 3 - 2x + 5 = 0$

$x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{41}}{2}$; $\frac{7 + \sqrt{41}}{2}$.

в)

Для того чтобы двучлен $7x + 1$ был равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$, составим и решим уравнение:

$7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1$

Перенесём все члены в одну сторону (в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным):

$0 = 3x^2 - 2x + 1 - 7x - 1$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Ответ: 0; 3.

г)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$, приравняем их:

$-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x$

Перенесём все члены в правую часть уравнения:

$0 = 4x^2 + 5x - (-2x^2 + 5x + 6)$

$0 = 4x^2 + 5x + 2x^2 - 5x - 6$

Приведём подобные слагаемые:

$0 = 6x^2 - 6$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$6x^2 = 6$

$x^2 = \frac{6}{6}$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня:

$x = \pm \sqrt{1}$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: -1; 1.