Номер 564, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 564, страница 132.

564. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет равно $n+1$.

Их произведение равно $n \cdot (n+1) = n^2 + n$.

Их сумма равна $n + (n+1) = 2n + 1$.

По условию задачи, произведение этих чисел больше их суммы на 109. Это можно записать в виде уравнения:

$n(n+1) = (n + (n+1)) + 109$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^2 + n = 2n + 1 + 109$

$n^2 + n = 2n + 110$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$n^2 + n - 2n - 110 = 0$

$n^2 - n - 110 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-110$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Корень $n_2 = -10$ не является натуральным числом, поэтому он не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, первое число равно $n_1 = 11$.

Второе последовательное число равно $n+1 = 11+1 = 12$.

Выполним проверку:

Произведение чисел: $11 \cdot 12 = 132$.

Сумма чисел: $11 + 12 = 23$.

Разность между произведением и суммой: $132 - 23 = 109$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 11 и 12.