Номер 571, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 571, страница 132.

571. Число диагоналей $p$ выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $p=\frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть $n$ — это искомое число сторон выпуклого многоугольника. По условию, число диагоналей $p$ в таком многоугольнике вычисляется по формуле: $p = \frac{n(n-3)}{2}$

Также из условия задачи нам известно, что число диагоналей на 25 больше числа сторон. Это можно записать в виде уравнения: $p = n + 25$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $p$, чтобы найти $n$: $\frac{n(n-3)}{2} = n + 25$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $n(n-3) = 2(n + 25)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $n^2 - 3n = 2n + 50$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - 3n - 2n - 50 = 0$ $n^2 - 5n - 50 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-5$, $c=-50$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом, причем $n \ge 3$. Корень $n_2 = -5$ не удовлетворяет этому физическому смыслу. Следовательно, единственно верным решением является $n=10$.

Многоугольник с 10 сторонами называется десятиугольником. Проверим решение: если $n=10$, то число диагоналей равно $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Число сторон равно 10. Разница между числом диагоналей и числом сторон составляет $35 - 10 = 25$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: в десятиугольнике.