Номер 572, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 572, страница 133.

572. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Пусть $n$ — искомое количество команд. В турнире, где каждая команда играет с каждой по одному разу, общее количество матчей равно числу сочетаний из $n$ команд по 2. Это связано с тем, что каждый матч — это уникальная пара из двух команд.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 (то есть количество пар, которые можно составить из $n$ объектов) выглядит следующим образом:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию задачи, общее количество сыгранных матчей равно 36. Мы можем составить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-1) = 72$

Это уравнение можно решить, найдя два последовательных целых числа, произведение которых равно 72. Такими числами являются 9 и 8, поскольку $9 \times 8 = 72$. Следовательно, $n = 9$.

Также можно решить это уравнение как квадратное. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$n^2 - n = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Корни уравнения равны:

$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n = -8$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, единственным верным решением является $n = 9$.

Ответ: в розыгрыше участвовало 9 команд.