Номер 574, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 574, страница 133.

574. От прямоугольного листа картона, длина которого равна $60 \text{ см}$, а ширина — $40 \text{ см}$, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна $800 \text{ см}^2$.

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $x$ см. Когда по углам прямоугольного листа картона вырезают одинаковые квадраты, а оставшиеся края загибают, получается открытая коробка. Основанием этой коробки является центральная прямоугольная часть исходного листа.

Изначальные размеры листа картона: длина — $60$ см, ширина — $40$ см. Так как с каждой из двух сторон, образующих длину, отрезается по квадрату со стороной $x$, то длина основания получившейся коробки будет равна $60 - 2x$ см. Аналогично, ширина основания коробки будет равна $40 - 2x$ см.

Площадь основания коробки, $S_{осн}$, вычисляется как произведение его длины на ширину: $S_{осн} = (60 - 2x)(40 - 2x)$.

Согласно условию задачи, площадь основания равна $800$ см². Составим и решим уравнение: $(60 - 2x)(40 - 2x) = 800$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2400 - 120x - 80x + 4x^2 = 800$ $4x^2 - 200x + 2400 - 800 = 0$ $4x^2 - 200x + 1600 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на $4$: $x^2 - 50x + 400 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 2500 - 1600 = 900$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40$. $x_2 = \frac{50 - 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Проверим, какой из найденных корней соответствует условиям задачи. Длина выреза $2x$ не может быть больше, чем ширина листа картона. Ширина листа — $40$ см. Следовательно, должно выполняться неравенство $2x < 40$, из которого следует $x < 20$.

Корень $x_1 = 40$ не удовлетворяет условию $x < 20$. Этот корень является посторонним, так как при таком значении $x$ ширина основания коробки была бы $40 - 2 \cdot 40 = -40$ см, что физически невозможно.

Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $x < 20$. Проверим его. Если сторона вырезанного квадрата равна $10$ см, то размеры основания коробки будут: Длина: $60 - 2 \cdot 10 = 40$ см. Ширина: $40 - 2 \cdot 10 = 20$ см. Площадь основания: $40 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 800 \text{ см}^2$. Полученное значение совпадает с данным в условии, следовательно, это и есть искомая величина.

Ответ: 10 см.