Номер 578, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 578, страница 133.

578. Решите уравнение:

a) $\frac{x(x-3)}{6} - \frac{x}{2} = 0;$

б) $\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{x(x-3)}{6} - \frac{x}{2} = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 — это 6. Домножим вторую дробь на 3:

$ \frac{x(x-3)}{6} - \frac{3x}{6} = 0 $

Теперь можно записать все под одним знаменателем:

$ \frac{x(x-3) - 3x}{6} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Так как знаменатель 6 не равен 0, приравняем числитель к нулю:

$ x(x-3) - 3x = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ x^2 - 3x - 3x = 0 $

$ x^2 - 6x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x-6) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

или

$ x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6 $

Ответ: $0; 6$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2 $

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$ 12 \cdot \left(\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4}\right) = 12 \cdot 2 $

$ \frac{12 \cdot x(x+1)}{3} + \frac{12 \cdot (8+x)}{4} = 24 $

Сократим дроби:

$ 4x(x+1) + 3(8+x) = 24 $

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ 4x^2 + 4x + 24 + 3x = 24 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x^2 + (4x+3x) + 24 = 24 $

$ 4x^2 + 7x + 24 = 24 $

Перенесем 24 из правой части в левую:

$ 4x^2 + 7x + 24 - 24 = 0 $

$ 4x^2 + 7x = 0 $

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(4x+7) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = 0 $

или

$ 4x+7 = 0 \Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{4} $

Ответ: $0; -\frac{7}{4}$.