Номер 576, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 576, страница 133.

576. Сократите дробь:

a) $\frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2}$;

б) $\frac{ax - 2x - 4a + 8}{3a - 6 - ax + 2x}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)((2a)^2 + 2a \cdot 3 + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)$.

Знаменатель является полным квадратом. Перепишем его в стандартном виде $4a^2 - 12a + 9$ и применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$9 - 12a + 4a^2 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a - 3)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:

$ \frac{8a^3 - 27}{9 - 12a + 4a^2} = \frac{(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^2} = \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $.

Сокращение возможно при условии, что $2a - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 1.5$.

Ответ: $ \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{ax - 2x - 4a + 8}{3a - 6 - ax + 2x} $, разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

В числителе сгруппируем слагаемые:

$ax - 2x - 4a + 8 = (ax - 2x) + (-4a + 8) = x(a - 2) - 4(a - 2) = (a - 2)(x - 4)$.

В знаменателе также сгруппируем слагаемые:

$3a - 6 - ax + 2x = (3a - 6) + (-ax + 2x) = 3(a - 2) - x(a - 2) = (a - 2)(3 - x)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$ \frac{(a - 2)(x - 4)}{(a - 2)(3 - x)} = \frac{x - 4}{3 - x} $.

Сокращение возможно при условии, что $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$, и $3 - x \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Ответ: $ \frac{x - 4}{3 - x} $.