Номер 565, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Решение задач с помощью квадратных уравнений. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 565, страница 132.

565. Площадь доски прямоугольной формы равна $4500 \text{ см}^2$. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна $120 \text{ см}$.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение на основе данных условия.

Пусть $x$ (в см) — сторона получившегося квадрата. Поскольку квадрат был отпилен от прямоугольной доски, одна из сторон доски также должна быть равна $x$.

После того как от доски отпилили квадрат со стороной $x$, остался прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника также равна $x$, а другая, согласно условию, равна 120 см. Таким образом, размеры отпиленного прямоугольника — $x$ см и 120 см.

Изначальная доска состояла из этих двух частей — квадрата и прямоугольника, приставленных друг к другу по стороне $x$. Следовательно, стороны исходной доски были равны $x$ см и $(x + 120)$ см.

Площадь исходной прямоугольной доски вычисляется как произведение ее сторон. По условию, эта площадь равна 4500 см². Составим уравнение:

$x \cdot (x + 120) = 4500$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 120x = 4500$

$x^2 + 120x - 4500 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае $a=1$, $b=120$, $c=-4500$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 120^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 14400 + 18000 = 32400$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{32400} = 180$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-120 + 180}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-120 - 180}{2 \cdot 1} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны квадрата, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -150$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, сторона получившегося квадрата равна 30 см.

Проверим результат. Если сторона квадрата равна 30 см, то размеры исходной доски были $30$ см и $(30 + 120) = 150$ см. Ее площадь составляет $30 \cdot 150 = 4500$ см², что соответствует условию задачи.

Ответ: 30 см.