Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2 Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — это уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — это переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, при этом старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Для нахождения корней (решений) квадратного уравнения используется формула, которая включает в себя понятие дискриминанта. Решение проходит в два этапа.

Этап 1: Вычисление дискриминанта

Дискриминант, обозначаемый буквой $D$, вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Знак дискриминанта определяет, сколько действительных корней имеет уравнение:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (также говорят о двух совпадающих корнях).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Этап 2: Нахождение корней

Если дискриминант оказался неотрицательным ($D \ge 0$), то корни уравнения можно найти по следующей общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Часто эту формулу записывают, сразу подставляя в неё выражение для дискриминанта. Это и есть основная формула корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Из этой общей формулы следуют два частных случая:
1. Если $D > 0$, то у уравнения два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. Если $D = 0$, то корень у уравнения один, так как $\sqrt{D} = 0$:
$x = \frac{-b}{2a}$

Ответ: Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$) формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Эта формула применяется в случае, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).

4 Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Сформулируйте и докажите теорему Виета.

Формулировка (прямая теорема Виета): Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, то их сумма равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену $q$.
Математически это записывается так:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Доказательство:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.
Согласно теореме о разложении квадратного трехчлена на множители, мы можем записать:
$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$
Раскроем скобки в правой части равенства:
$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
Таким образом, мы имеем тождество:
$x^2 + px + q = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$. Сравнивая коэффициенты, получаем систему равенств:
$\begin{cases} p = -(x_1 + x_2) \\ q = x_1 \cdot x_2 \end{cases}$
Из этой системы следует:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$
Теорема доказана.

Ответ: Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, то их сумма равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$?

Рассмотрим полное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где старший коэффициент $a \neq 0$.
Предположим, что оно имеет корни $x_1$ и $x_2$ (то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$).
Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:
$\frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} = \frac{0}{a}$
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Мы получили приведенное квадратное уравнение, аналогичное уравнению $x^2 + px + q = 0$, где в роли коэффициента $p$ выступает дробь $\frac{b}{a}$, а в роли свободного члена $q$ — дробь $\frac{c}{a}$.
Теперь мы можем применить к этому уравнению доказанную выше теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(\frac{b}{a}) = -\frac{b}{a}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = \frac{c}{a}$.
Эти формулы представляют собой обобщенную теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Ответ: Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

1 Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Что называют дискриминантом квадратного уравнения?

Квадратным уравнением называют уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ является переменной, $a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Дискриминантом квадратного уравнения называется специальное выражение, которое зависит от его коэффициентов и используется для нахождения корней. Само слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, что означает «различающий» или «разделяющий». Это название отражает его основную функцию — определять количество действительных корней уравнения.

Дискриминант обозначается буквой $D$ и вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Ответ: Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называют величину $D$, вычисляемую по формуле $D = b^2 - 4ac$, которая определяет количество его действительных корней.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Количество действительных корней квадратного уравнения напрямую зависит от знака его дискриминанта $D$. Возможны три случая:

1. Если дискриминант положителен ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Этот корень можно найти по упрощенной формуле:

$x = -\frac{b}{2a}$

3. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней. В этом случае его корнями являются два сопряженных комплексных числа, но в рамках школьной программы обычно говорят, что корней нет.

Ответ: В зависимости от значения дискриминанта, квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, один действительный корень или не иметь действительных корней вовсе.

3 Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

Стандартный вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

Корни такого уравнения находятся по общей формуле: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Выражение под корнем $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом.

В условии задачи сказано, что второй коэффициент, $b$, является чётным числом. Это значит, что его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — это половина коэффициента $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2k$ в общую формулу для корней квадратного уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$$

Теперь выполним упрощение этого выражения. Сначала возведём $2k$ в квадрат: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$$

В выражении под корнем вынесем общий множитель 4 за скобки: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$$

Теперь можно извлечь корень из 4: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$$

Мы видим, что все члены в числителе содержат множитель 2. Вынесем его за скобки и сократим с двойкой в знаменателе: $$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$

Это и есть искомая формула. Она удобна для вычислений, так как оперирует с меньшими числами. Выражение под корнем в этой формуле, $D_1 = k^2 - ac$, иногда называют "упрощённым" или "четвертным" дискриминантом, так как $D_1 = D/4$.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является чётным числом ($b=2k$), имеет вид: $$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$ где $k = \frac{b}{2}$.

5 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Если существуют такие числа $x_1$ и $x_2$, что их сумма $x_1 + x_2$ равна $-p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство

По условию теоремы, нам даны числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются следующие равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$.

Из данных нам условий мы можем выразить коэффициенты $p$ и $q$ через $x_1$ и $x_2$:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Подставим эти выражения для $p$ и $q$ в исходное уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Чтобы доказать, что $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, необходимо показать, что при подстановке каждого из этих чисел вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

1. Подставим в левую часть уравнения $x = x_1$:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2x_1 + x_1x_2 = 0$

Так как левая часть равна нулю, то $x_1$ является корнем уравнения.

2. Подставим в левую часть уравнения $x = x_2$:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1x_2 = x_2^2 - x_1x_2 - x_2^2 + x_1x_2 = 0$

Так как левая часть также равна нулю, то $x_2$ также является корнем уравнения.

Таким образом, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.