Номер 3, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 139.

3 Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

Стандартный вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

Корни такого уравнения находятся по общей формуле: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Выражение под корнем $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом.

В условии задачи сказано, что второй коэффициент, $b$, является чётным числом. Это значит, что его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — это половина коэффициента $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2k$ в общую формулу для корней квадратного уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$$

Теперь выполним упрощение этого выражения. Сначала возведём $2k$ в квадрат: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$$

В выражении под корнем вынесем общий множитель 4 за скобки: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a}$$

Теперь можно извлечь корень из 4: $$x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$$

Мы видим, что все члены в числителе содержат множитель 2. Вынесем его за скобки и сократим с двойкой в знаменателе: $$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$

Это и есть искомая формула. Она удобна для вычислений, так как оперирует с меньшими числами. Выражение под корнем в этой формуле, $D_1 = k^2 - ac$, иногда называют "упрощённым" или "четвертным" дискриминантом, так как $D_1 = D/4$.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является чётным числом ($b=2k$), имеет вид: $$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$$ где $k = \frac{b}{2}$.