Номер 598, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 598, страница 138.

598. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно $ \frac{13}{12} $, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + c$.

Из условия задачи известно, что отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{13}{12}$. Пусть это будет катет $a$. Таким образом, мы имеем соотношение:$\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$Также нам дан второй катет: $b = 15$ см.

Из отношения $\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$ мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$, так что $c = 13x$ и $a = 12x$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, чтобы связать все три стороны:$(12x)^2 + b^2 = (13x)^2$$144x^2 + b^2 = 169x^2$Выразим $b^2$:$b^2 = 169x^2 - 144x^2$$b^2 = 25x^2$$b = \sqrt{25x^2} = 5x$ (длина стороны является положительной величиной).

Таким образом, стороны треугольника соотносятся как $5:12:13$. Нам известно, что длина второго катета $b$ равна 15 см. Сопоставим это с нашим выражением для $b$:$5x = 15$Отсюда находим значение $x$:$x = \frac{15}{5} = 3$

Теперь мы можем найти длины катета $a$ и гипотенузы $c$:Катет $a = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.Гипотенуза $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Итак, стороны треугольника равны 15 см, 36 см и 39 см.Найдем периметр треугольника, сложив длины всех его сторон:$P = 15 + 36 + 39 = 51 + 39 = 90$ см.

Ответ: 90 см.