Номер 592, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 592, страница 137.

592. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 3x + a = 0$ равна 65. Найдите $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3x + a = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$. Согласно условию задачи, сумма квадратов корней равна 65, что можно записать в виде уравнения: $x_1^2 + x_2^2 = 65$.

Для решения этой задачи применим теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = a$. Применяя теорему Виета, получаем:
$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = a$

Теперь выразим сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$) через их сумму ($x_1 + x_2$) и произведение ($x_1 \cdot x_2$), используя известное алгебраическое тождество:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 65$ (из условия), $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1x_2 = a$ (из теоремы Виета).
$65 = (3)^2 - 2 \cdot a$

Решим полученное уравнение относительно $a$:
$65 = 9 - 2a$
$2a = 9 - 65$
$2a = -56$
$a = \frac{-56}{2}$
$a = -28$

Для полноты решения проверим, имеет ли уравнение действительные корни при найденном значении $a$. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9 - 4a$
Подставим $a = -28$:
$D = 9 - 4(-28) = 9 + 112 = 121$
Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, наше решение корректно.

Ответ: $a = -28$.