Номер 590, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 590, страница 137.

590. Разность корней квадратного уравнения $x^2 + x + c = 0$ равна 6.

Найдите $c$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + x + c = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты равны $a=1$, $b=1$, а свободный член равен $c$.

Применяя теорему Виета, получаем:

1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$

2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = c$

По условию задачи, разность корней равна 6. Запишем это как $x_1 - x_2 = 6$ (или $x_2 - x_1 = 6$, что не повлияет на итоговый результат, так как мы будем использовать квадрат разности).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 - x_2 = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -1 + 6$

$2x_1 = 5$

$x_1 = 2.5$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение, чтобы найти $x_2$:

$2.5 + x_2 = -1$

$x_2 = -1 - 2.5$

$x_2 = -3.5$

Теперь, зная оба корня, мы можем найти $c$ из второго соотношения теоремы Виета:

$c = x_1 \cdot x_2 = 2.5 \cdot (-3.5) = -8.75$

Альтернативный способ решения:

Можно использовать тождество, связывающее сумму, разность и произведение корней:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Из условия мы знаем, что $x_1 - x_2 = 6$, а из теоремы Виета, что $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1x_2 = c$. Подставим эти значения в тождество:

$6^2 = (-1)^2 - 4c$

$36 = 1 - 4c$

$4c = 1 - 36$

$4c = -35$

$c = -\frac{35}{4} = -8.75$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $c = -8.75$