Номер 586, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 586, страница 137.

586. Один из корней уравнения $x^2 - 13x + q = 0$ равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент $q$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = c$

В заданном уравнении $x^2 - 13x + q = 0$ коэффициенты равны: $p = -13$, $c = q$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ верны равенства:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
$x_1 \cdot x_2 = q$

другой корень
По условию задачи, один из корней равен 12,5. Пусть $x_1 = 12,5$. Используя первое соотношение Виета (формулу для суммы корней), найдем второй корень $x_2$:
$12,5 + x_2 = 13$
Вычтем 12,5 из обеих частей уравнения:
$x_2 = 13 - 12,5$
$x_2 = 0,5$
Ответ: 0,5.

коэффициент q
Теперь, зная оба корня ($x_1 = 12,5$ и $x_2 = 0,5$), мы можем найти коэффициент $q$, используя второе соотношение Виета (формулу для произведения корней):
$q = x_1 \cdot x_2$
$q = 12,5 \cdot 0,5$
$q = 6,25$
Также можно найти $q$, подставив известный корень $x_1=12,5$ в исходное уравнение, так как он должен обращать уравнение в верное равенство:
$(12,5)^2 - 13(12,5) + q = 0$
$156,25 - 162,5 + q = 0$
$-6,25 + q = 0$
$q = 6,25$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 6,25.