Номер 594, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Теорема Виета. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 594, страница 138.

594. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0;$

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0.$

Для доказательства воспользуемся следствием из теоремы Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения.

1. Если корни имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть положительным. Согласно теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Следовательно, для того чтобы корни имели одинаковые знаки, должно выполняться условие $\frac{c}{a} > 0$, что означает, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки.

2. Если корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный), то их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным. Следовательно, должно выполняться условие $\frac{c}{a} < 0$, что означает, что коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки. Отметим, что в этом случае уравнение всегда имеет два действительных корня, так как дискриминант $D = b^2 - 4ac$ будет положительным (поскольку $b^2 \ge 0$, а произведение $-4ac > 0$).

Проверим знаки коэффициентов $a$ и $c$ в заданных уравнениях.

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0$

В данном уравнении старший коэффициент $a = 3$ (положительный), а свободный член $c = -7$ (отрицательный). Так как коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки, то их отношение $\frac{c}{a}$ отрицательно.

Найдем произведение корней уравнения по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{3}$

Поскольку произведение корней является отрицательным числом, корни обязательно имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). Следовательно, они не могут иметь одинаковые знаки.

Ответ: Уравнение не может иметь корни одинаковых знаков, так как произведение корней, равное $\frac{c}{a} = -\frac{7}{3}$, является отрицательным числом.

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0$

В данном уравнении старший коэффициент $a = 5$ (положительный), а свободный член $c = -16$ (отрицательный). Так как коэффициенты $a$ и $c$ имеют разные знаки, то их отношение $\frac{c}{a}$ отрицательно.

Найдем произведение корней уравнения по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-16}{5}$

Поскольку произведение корней является отрицательным числом, корни обязательно имеют разные знаки. Следовательно, они не могут иметь одинаковые знаки.

Ответ: Уравнение не может иметь корни одинаковых знаков, так как произведение корней, равное $\frac{c}{a} = -\frac{16}{5}$, является отрицательным числом.