Номер 2, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 139.

2 Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — это уравнение общего вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — это переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, при этом старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Для нахождения корней (решений) квадратного уравнения используется формула, которая включает в себя понятие дискриминанта. Решение проходит в два этапа.

Этап 1: Вычисление дискриминанта

Дискриминант, обозначаемый буквой $D$, вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Знак дискриминанта определяет, сколько действительных корней имеет уравнение:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (также говорят о двух совпадающих корнях).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Этап 2: Нахождение корней

Если дискриминант оказался неотрицательным ($D \ge 0$), то корни уравнения можно найти по следующей общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Часто эту формулу записывают, сразу подставляя в неё выражение для дискриминанта. Это и есть основная формула корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Из этой общей формулы следуют два частных случая:
1. Если $D > 0$, то у уравнения два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
2. Если $D = 0$, то корень у уравнения один, так как $\sqrt{D} = 0$:
$x = \frac{-b}{2a}$

Ответ: Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$) формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Эта формула применяется в случае, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).