Номер 604, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 604, страница 142.

604. При каком значении x:

а) значение функции $y = \frac{2x-1}{x+6}$ равно 5; -3; 0; 2;

б) значение функции $y = \frac{x^2+x-2}{x+3}$ равно -10; 0; -5?

а) Чтобы найти, при каком значении $x$ функция $y = \frac{2x - 1}{x + 6}$ принимает заданные значения, необходимо приравнять функцию к этим значениям и решить получившиеся уравнения. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

• Если значение функции равно 5:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 5$
$2x - 1 = 5(x + 6)$
$2x - 1 = 5x + 30$
$2x - 5x = 30 + 1$
$-3x = 31$
$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3}$
Данное значение $x$ удовлетворяет условию $x \neq -6$.

• Если значение функции равно -3:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = -3$
$2x - 1 = -3(x + 6)$
$2x - 1 = -3x - 18$
$2x + 3x = -18 + 1$
$5x = -17$
$x = -\frac{17}{5} = -3.4$
Данное значение $x$ удовлетворяет условию $x \neq -6$.

• Если значение функции равно 0:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
При $x = \frac{1}{2}$ знаменатель $x+6 \neq 0$, поэтому это решение.

• Если значение функции равно 2:
$\frac{2x - 1}{x + 6} = 2$
$2x - 1 = 2(x + 6)$
$2x - 1 = 2x + 12$
$-1 = 12$
Получено неверное числовое равенство, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: значение функции равно 5 при $x = -10\frac{1}{3}$; равно -3 при $x = -3.4$; равно 0 при $x = 0.5$; значение функции не может быть равным 2.

б) Чтобы найти, при каком значении $x$ функция $y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 3}$ принимает заданные значения, необходимо приравнять функцию к этим значениям и решить получившиеся уравнения. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется условием $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

• Если значение функции равно -10:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -10$
$x^2 + x - 2 = -10(x + 3)$
$x^2 + x - 2 = -10x - 30$
$x^2 + 11x + 28 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -7$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -3$.

• Если значение функции равно 0:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю.
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -3$.

• Если значение функции равно -5:
$\frac{x^2 + x - 2}{x + 3} = -5$
$x^2 + x - 2 = -5(x + 3)$
$x^2 + x - 2 = -5x - 15$
$x^2 + 6x + 13 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней.

Ответ: значение функции равно -10 при $x = -4$ и $x = -7$; равно 0 при $x = 1$ и $x = -2$; значение функции не может быть равным -5.