Номер 608, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 608, страница 143.

608. Решите уравнение:

а) $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$;

б) $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$;

в) $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$;

г) $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$.

а) Исходное уравнение: $\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-5)(x+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$10 + x(x-5) = 3(x+1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$10 + x^2 - 5x = 3x + 3$

$x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Получилось квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 7$

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ (не равны 5 и -1), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) Исходное уравнение: $\frac{17}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+4)$:

$17 - 1 \cdot (x+4) = x \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$17 - x - 4 = x^2 - 3x$

$13 - x = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x + x - 13 = 0$

$x^2 - 2x - 13 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$

Корни $x_1 = 1 + \sqrt{14}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{14}$ не равны 3 и -4, поэтому оба входят в ОДЗ.

Ответ: $1 \pm \sqrt{14}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2-1} = 0$.

Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(x+1)^2(x-1)^2$. Умножим на него обе части уравнения:

$4(x-1)^2 - 1(x+1)^2 + (x-1)(x+1) = 0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$4(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1) = 0$

$4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2 + x^2) + (-8x - 2x) + (4 - 1 - 1) = 0$

$4x^2 - 10x + 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$

Корни уравнения:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Оба корня, $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$, не равны 1 и -1, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{4}{9x^2-1} + \frac{1}{3x^2-x} = \frac{4}{9x^2-6x+1}$.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$9x^2-1 = (3x-1)(3x+1)$

$3x^2-x = x(3x-1)$

$9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$

Уравнение принимает вид: $\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} + \frac{1}{x(3x-1)} = \frac{4}{(3x-1)^2}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$, $3x+1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Общий знаменатель равен $x(3x-1)^2(3x+1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4x(3x-1) + (3x-1)(3x+1) = 4x(3x+1)$

Раскроем скобки:

$12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$21x^2 - 4x - 1 - 12x^2 - 4x = 0$

$9x^2 - 8x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$x_2 = \frac{8 - 10}{2 \cdot 9} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}$

Оба корня ($1$ и $-\frac{1}{9}$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $1; -\frac{1}{9}$.