Номер 612, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 612, страница 144.

612. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение $\frac{1}{x} = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа $a$ и $b$.

Количество корней уравнения $ \frac{1}{x} = ax + b $ равно количеству точек пересечения графиков функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = ax + b $. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах. График функции $ y = ax + b $ — это прямая. Рассмотрим все возможные случаи их взаимного расположения.

Нет корней

Уравнение не имеет корней, если графики функций не пересекаются. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a = 0 $ и $ b = 0 $. Уравнение прямой принимает вид $ y = 0 $. Эта прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой для гиперболы $ y = \frac{1}{x} $ и никогда её не пересекает.
2. Если $ a < 0 $. В этом случае прямая $ y = ax + b $ является убывающей. Она может не пересекать гиперболу, если "проходит" между её ветвями. Чтобы найти точное условие, преобразуем исходное уравнение к квадратному (при условии $ x \neq 0 $): $ 1 = ax^2 + bx $, или $ ax^2 + bx - 1 = 0 $. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $ D = b^2 - 4(a)(-1) = b^2 + 4a < 0 $. Это возможно только при $ a < 0 $.

Ответ: уравнение не имеет корней, если $ a = 0 $ и $ b = 0 $, или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a < 0 $.

Один корень

Уравнение имеет один корень, если графики функций имеют одну общую точку. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a = 0 $ и $ b \neq 0 $. Уравнение прямой принимает вид $ y = b $, где $ b \neq 0 $. Любая горизонтальная прямая, не совпадающая с осью абсцисс, пересекает гиперболу $ y = \frac{1}{x} $ ровно в одной точке.
2. Если $ a < 0 $. Убывающая прямая $ y = ax + b $ может касаться одной из ветвей гиперболы. Касание соответствует случаю, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет ровно один корень. Это происходит, когда его дискриминант равен нулю: $ D = b^2 + 4a = 0 $.

Ответ: уравнение имеет один корень, если $ a = 0 $ и $ b \neq 0 $, или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a = 0 $.

Два корня

Уравнение имеет два корня, если графики функций пересекаются в двух точках. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a > 0 $. В этом случае прямая $ y = ax + b $ является возрастающей. Такая прямая неизбежно пересекает обе ветви гиперболы $ y = \frac{1}{x} $, независимо от значения $ b $. Следовательно, всегда будет две точки пересечения.
2. Если $ a < 0 $. Убывающая прямая может пересекать одну из ветвей гиперболы в двух точках (быть секущей). Алгебраически это соответствует случаю, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет два различных действительных корня. Это происходит, когда его дискриминант положителен: $ D = b^2 + 4a > 0 $.

Ответ: уравнение имеет два корня, если $ a > 0 $ (при любом значении $ b $), или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a > 0 $.