Номер 619, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 619, страница 146.

619. Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Пусть скорость одного (более медленного) лыжника равна $v$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость другого (более быстрого) лыжника равна $(v + 2)$ км/ч.

Оба лыжника прошли расстояние $S = 20$ км. Время, которое затратил на этот путь первый лыжник, составляет $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{20}{v}$ часов. Время, которое затратил второй лыжник, составляет $t_2 = \frac{S}{v+2} = \frac{20}{v+2}$ часов.

Известно, что один из лыжников прошел расстояние на 20 минут быстрее. Так как второй лыжник двигался с большей скоростью, он затратил меньше времени. Разница во времени составляет 20 минут. Переведем это время в часы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени к $\frac{1}{3}$ часа:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{20}{v} - \frac{20}{v+2} = \frac{1}{3}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+2)$:

$\frac{20(v+2) - 20v}{v(v+2)} = \frac{1}{3}$

$\frac{20v + 40 - 20v}{v^2 + 2v} = \frac{1}{3}$

$\frac{40}{v^2 + 2v} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$v^2 + 2v = 40 \cdot 3$

$v^2 + 2v = 120$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 2v - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$v_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, скорость медленного лыжника составляет 10 км/ч.

Найдем скорость второго, более быстрого лыжника:

$v + 2 = 10 + 2 = 12$ км/ч.

Таким образом, скорости лыжников равны 10 км/ч и 12 км/ч.

Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.