Номер 622, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 622, страница 146.

622. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?

Пусть $x$ — урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, измеряемая в центнерах с гектара (ц/га).
Поскольку в прошлом году всего было собрано 192 ц пшеницы, то площадь, с которой был собран этот урожай, составляет $A_1 = \frac{192}{x}$ га.

В этом году, благодаря новым технологиям, урожайность повысилась на 2 ц/га и стала равной $(x + 2)$ ц/га.
Тот же урожай в 192 ц был собран с площади, которая оказалась на 0,4 га меньше, чем в прошлом году. Таким образом, площадь в этом году составила $A_2 = A_1 - 0.4 = \left(\frac{192}{x} - 0.4\right)$ га.

Произведение урожайности этого года на площадь этого года равно общему урожаю. На основе этого составим уравнение: $$ (x + 2) \cdot \left(\frac{192}{x} - 0.4\right) = 192 $$
Теперь необходимо решить это уравнение относительно $x$.
Раскроем скобки в левой части: $$ x \cdot \frac{192}{x} - x \cdot 0.4 + 2 \cdot \frac{192}{x} - 2 \cdot 0.4 = 192 $$ $$ 192 - 0.4x + \frac{384}{x} - 0.8 = 192 $$
Вычтем 192 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые: $$ -0.4x + \frac{384}{x} - 0.8 = 0 $$
Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как урожайность не может быть нулевой): $$ -0.4x^2 - 0.8x + 384 = 0 $$
Для удобства дальнейших вычислений умножим уравнение на -10, чтобы избавиться от десятичных дробей и получить положительный коэффициент при старшем члене: $$ 4x^2 + 8x - 3840 = 0 $$
Разделим все члены уравнения на 4 для его упрощения: $$ x^2 + 2x - 960 = 0 $$
Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-960) = 4 + 3840 = 3844 $$ Найдем корни уравнения, используя формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ \sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62 $$ $$ x_1 = \frac{-2 + 62}{2} = \frac{60}{2} = 30 $$ $$ x_2 = \frac{-2 - 62}{2} = \frac{-64}{2} = -32 $$
Поскольку урожайность ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 30$.

Таким образом, урожайность пшеницы в прошлом году составляла 30 ц/га.

Ответ: урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году была 30 ц/га.