Номер 625, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 625, страница 146.

625. Старинная задача.

Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые обедали.

Если бы все могли заплатить, то доля каждого составила бы $\frac{175}{x}$ шиллингов.

Согласно условию, у двоих человек не было денег, значит, платили только $x-2$ человека. Эти люди покрыли всю сумму счета.

Следовательно, каждый из заплативших в итоге отдал $\frac{175}{x-2}$ шиллингов.

Известно, что эта сумма на 10 шиллингов больше, чем первоначальная доля. На основании этого можно составить уравнение:

$\frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10$

$\frac{350}{x^2 - 2x} = 10$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 2x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$):

$350 = 10(x^2 - 2x)$

Разделим обе части на 10:

$35 = x^2 - 2x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант или теорему Виета.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку количество людей не может быть отрицательным, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи. Таким образом, первоначально обедало 7 человек.

Проверим найденное решение. Изначальная доля: $175 / 7 = 25$ шиллингов. Количество плативших: $7 - 2 = 5$ человек. Фактически заплатили: $175 / 5 = 35$ шиллингов. Разница: $35 - 25 = 10$ шиллингов. Решение верное.

Ответ: 7.