Номер 631, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 631, страница 147.

631. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — масса серебра в первоначальном сплаве в граммах. Эта величина остается постоянной на протяжении всего процесса.

1. Характеристики первоначального сплава:
Масса золота: $m_{золота1} = 40$ г.
Масса серебра: $m_{серебра} = x$ г.
Общая масса сплава: $m_{сплава1} = m_{золота1} + m_{серебра} = 40 + x$ г.
Содержание (концентрация) золота в первоначальном сплаве, выраженное в долях: $C_1 = \frac{m_{золота1}}{m_{сплава1}} = \frac{40}{40 + x}$

2. Характеристики нового сплава:
К сплаву добавили 50 г золота.
Масса золота в новом сплаве: $m_{золота2} = 40 + 50 = 90$ г.
Масса серебра не изменилась: $m_{серебра} = x$ г.
Общая масса нового сплава: $m_{сплава2} = m_{золота2} + m_{серебра} = 90 + x$ г.
Содержание золота в новом сплаве: $C_2 = \frac{m_{золота2}}{m_{сплава2}} = \frac{90}{90 + x}$

3. Составление и решение уравнения:
По условию, содержание золота возросло на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0,2 в долях единицы.
$C_2 - C_1 = 0.2$
Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в уравнение: $\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = 0.2$
Преобразуем 0,2 в обыкновенную дробь: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = \frac{1}{5}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(90 + x)(40 + x)$: $\frac{90(40 + x) - 40(90 + x)}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{3600 + 90x - 3600 - 40x}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Упростим числитель: $\frac{50x}{(90 + x)(40 + x)} = \frac{1}{5}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $5 \cdot (50x) = 1 \cdot (90 + x)(40 + x)$
$250x = 3600 + 90x + 40x + x^2$
$250x = x^2 + 130x + 3600$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 130x - 250x + 3600 = 0$
$x^2 - 120x + 3600 = 0$
Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности $(x-60)^2$: $(x - 60)^2 = 0$
Следовательно, $x - 60 = 0$, откуда $x = 60$.

Таким образом, в сплаве было 60 г серебра.

Проверим:
Начальная концентрация золота: $\frac{40}{40+60} = \frac{40}{100} = 40\%$.
Конечная концентрация золота: $\frac{40+50}{40+60+50} = \frac{90}{150} = \frac{3}{5} = 60\%$.
Разница концентраций: $60\% - 40\% = 20\%$. Решение верное.

Ответ: 60 г.