Номер 627, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 627, страница 147.

627. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Обозначим за $x$ км/ч искомую скорость лодки при движении по озеру. Эта скорость является собственной скоростью лодки (скоростью в стоячей воде).

Согласно условию, скорость течения реки равна 2 км/ч. Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега уменьшается на величину скорости течения. Таким образом, скорость лодки против течения реки составляет $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Турист проплыл против течения реки 6 км. Время, затраченное на этот путь, равно:
$t_{река} = \frac{6}{x-2}$ ч.

По озеру турист проплыл 15 км. Время, затраченное на путь по озеру, равно:
$t_{озеро} = \frac{15}{x}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по озеру было затрачено на 1 час больше, чем на путь по реке. На основе этого составим уравнение:
$t_{озеро} = t_{река} + 1$
$\frac{15}{x} = \frac{6}{x-2} + 1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x-2)$, учитывая ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$):
$15(x-2) = 6x + 1 \cdot x(x-2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$15x - 30 = 6x + x^2 - 2x$
$15x - 30 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 15x + 30 = 0$
$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корнями являются числа 5 и 6.
Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$
$x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба найденных корня, 5 и 6, удовлетворяют ранее установленному условию $x > 2$. Проверим каждое из решений, подставив его в исходные условия.

Проверка для $x = 5$ км/ч:
Время по реке: $t_{река} = \frac{6}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$ часа.
Время по озеру: $t_{озеро} = \frac{15}{5} = 3$ часа.
Разница во времени: $3 - 2 = 1$ час. Это соответствует условию задачи.

Проверка для $x = 6$ км/ч:
Время по реке: $t_{река} = \frac{6}{6-2} = \frac{6}{4} = 1.5$ часа.
Время по озеру: $t_{озеро} = \frac{15}{6} = 2.5$ часа.
Разница во времени: $2.5 - 1.5 = 1$ час. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: скорость лодки при движении по озеру равна 5 км/ч или 6 км/ч.