Номер 620, страница 146 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 620, страница 146.

620. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Пусть $v$ км/ч — скорость второго автомобиля. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, то его скорость равна $(v + 10)$ км/ч.

Оба автомобиля проехали расстояние $S = 560$ км.

Время, которое затратил на путь первый автомобиль, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{560}{v+10}$ ч.

Время, которое затратил на путь второй автомобиль, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{560}{v}$ ч.

Из условия задачи известно, что первый автомобиль приехал на место на 1 час раньше второго. Это означает, что время в пути у второго автомобиля было на 1 час больше, чем у первого. На основании этого можно составить уравнение: $t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{560}{v} - \frac{560}{v+10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$: $\frac{560(v+10) - 560v}{v(v+10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{560v + 5600 - 560v}{v^2 + 10v} = 1$

Упростим числитель: $\frac{5600}{v^2 + 10v} = 1$

Учитывая, что скорость $v$ не может быть равна нулю или -10, умножим обе части уравнения на $v^2 + 10v$: $v^2 + 10v = 5600$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 10v - 5600 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_1 = \frac{-10 + \sqrt{22500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$ $v_2 = \frac{-10 - \sqrt{22500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Скорость автомобиля не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -80$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго автомобиля составляет 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля: $v + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.