Номер 615, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 615, страница 144.

615. Упростите выражение:

а) $ \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x} $

б) $ \sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $

а) $ \frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \sqrt{x} $

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Числитель дроби $x - y$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$ (при условии $x \ge 0, y \ge 0$).

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \sqrt{x} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, при условии, что он не равен нулю, то есть $x \neq y$:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{x} $

Теперь приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{x} = \sqrt{y} $

Ответ: $ \sqrt{y} $

б) $ \sqrt{x} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $

Аналогично пункту а), представим числитель дроби $x - y$ как разность квадратов $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$, который не равен нулю (при $x \ge 0, y \ge 0$ и не одновременно равных нулю):

$ \sqrt{x} - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) $

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{y} $

Ответ: $ \sqrt{y} $