Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

611. Решите графически уравнение:

a) $ \frac{6}{x} = x; $

б) $ \frac{6}{x} = -x + 6. $

Чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = x $.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола. Так как коэффициент $ k=6 > 0 $, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($ y=0 $) и ось ординат ($ x=0 $) являются асимптотами графика. Составим таблицу значений для построения:

2. График функции $ y = x $ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек.

3. Решениями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков. На графике видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:

$ \frac{6}{x} = x $

При $ x \neq 0 $ умножим обе части на $x$:

$ 6 = x^2 $

$ x^2 = 6 $

$ x_1 = \sqrt{6} $, $ x_2 = -\sqrt{6} $.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}, x_2 = \sqrt{6}$.

Чтобы решить уравнение $ \frac{6}{x} = -x + 6 $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{6}{x} $ и $ y = -x + 6 $.

1. График функции $ y = \frac{6}{x} $ — это гипербола, рассмотренная в пункте а).

2. График функции $ y = -x + 6 $ — это прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек, например, точек пересечения с осями координат:

3. Решениями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков гиперболы $ y = \frac{6}{x} $ и прямой $ y = -x + 6 $. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках в первой координатной четверти. Чтобы найти точные значения абсцисс этих точек, решим уравнение:

$ \frac{6}{x} = -x + 6 $

Умножим обе части на $ x $ (при условии, что $ x \neq 0 $):

$ 6 = -x^2 + 6x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 6x + 6 = 0 $

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $, где $ D = b^2 - 4ac $. В нашем случае $ a=1 $, $ b=-6 $, $ c=6 $. Найдем дискриминант:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 $.

Найдем корни:

$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $.

Таким образом, мы получили два решения: $ x_1 = 3 - \sqrt{3} $ и $ x_2 = 3 + \sqrt{3} $.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.

612. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение $\frac{1}{x} = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа $a$ и $b$.

Количество корней уравнения $ \frac{1}{x} = ax + b $ равно количеству точек пересечения графиков функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = ax + b $. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах. График функции $ y = ax + b $ — это прямая. Рассмотрим все возможные случаи их взаимного расположения.

Нет корней

Уравнение не имеет корней, если графики функций не пересекаются. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a = 0 $ и $ b = 0 $. Уравнение прямой принимает вид $ y = 0 $. Эта прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой для гиперболы $ y = \frac{1}{x} $ и никогда её не пересекает.
2. Если $ a < 0 $. В этом случае прямая $ y = ax + b $ является убывающей. Она может не пересекать гиперболу, если "проходит" между её ветвями. Чтобы найти точное условие, преобразуем исходное уравнение к квадратному (при условии $ x \neq 0 $): $ 1 = ax^2 + bx $, или $ ax^2 + bx - 1 = 0 $. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $ D = b^2 - 4(a)(-1) = b^2 + 4a < 0 $. Это возможно только при $ a < 0 $.

Ответ: уравнение не имеет корней, если $ a = 0 $ и $ b = 0 $, или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a < 0 $.

Один корень

Уравнение имеет один корень, если графики функций имеют одну общую точку. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a = 0 $ и $ b \neq 0 $. Уравнение прямой принимает вид $ y = b $, где $ b \neq 0 $. Любая горизонтальная прямая, не совпадающая с осью абсцисс, пересекает гиперболу $ y = \frac{1}{x} $ ровно в одной точке.
2. Если $ a < 0 $. Убывающая прямая $ y = ax + b $ может касаться одной из ветвей гиперболы. Касание соответствует случаю, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет ровно один корень. Это происходит, когда его дискриминант равен нулю: $ D = b^2 + 4a = 0 $.

Ответ: уравнение имеет один корень, если $ a = 0 $ и $ b \neq 0 $, или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a = 0 $.

Два корня

Уравнение имеет два корня, если графики функций пересекаются в двух точках. Это возможно в двух случаях:

1. Если $ a > 0 $. В этом случае прямая $ y = ax + b $ является возрастающей. Такая прямая неизбежно пересекает обе ветви гиперболы $ y = \frac{1}{x} $, независимо от значения $ b $. Следовательно, всегда будет две точки пересечения.
2. Если $ a < 0 $. Убывающая прямая может пересекать одну из ветвей гиперболы в двух точках (быть секущей). Алгебраически это соответствует случаю, когда квадратное уравнение $ ax^2 + bx - 1 = 0 $ имеет два различных действительных корня. Это происходит, когда его дискриминант положителен: $ D = b^2 + 4a > 0 $.

Ответ: уравнение имеет два корня, если $ a > 0 $ (при любом значении $ b $), или если $ a < 0 $ и $ b^2 + 4a > 0 $.

613. Найдите значение выражения $x^2 - 2xy + y^2$ при $x=3+\sqrt{5}$, $y=3-\sqrt{5}$.

Для нахождения значения данного выражения $x^2 - 2xy + y^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применив эту формулу к нашему выражению, получим:

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

Теперь задача сводится к тому, чтобы подставить значения $x$ и $y$ в упрощенное выражение $(x-y)^2$.

Даны значения $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$.

1. Вычислим разность $x - y$:

$x - y = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5})$

Раскрываем скобки, меняя знак у членов второго выражения на противоположный:

$x - y = 3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}$

Приводим подобные слагаемые:

$x - y = (3 - 3) + (\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 0 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(x - y)^2 = (2\sqrt{5})^2$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20.

614. Принадлежат ли графику функции $y = x^2 + 2x + 5$ точки $A(1,5; 7,25)$, $B(-3,2; 9)$ и $C(\sqrt{3}-1; 7)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^2 + 2x + 5$. Если в результате подстановки получится верное равенство, то точка принадлежит графику, если неверное — не принадлежит.

A(1,5; 7,25)

Подставим абсциссу точки $x = 1,5$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = (1,5)^2 + 2 \cdot 1,5 + 5 = 2,25 + 3 + 5 = 10,25$

Полученное значение $y = 10,25$ не совпадает с ординатой точки А, равной $7,25$. Поскольку $10,25 \neq 7,25$, точка не лежит на графике.

Ответ: точка A не принадлежит графику функции.

B(-3,2; 9)

Подставим абсциссу точки $x = -3,2$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = (-3,2)^2 + 2 \cdot (-3,2) + 5 = 10,24 - 6,4 + 5 = 8,84$

Полученное значение $y = 8,84$ не совпадает с ординатой точки B, равной $9$. Поскольку $8,84 \neq 9$, точка не лежит на графике.

Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

C($\sqrt{3}-1$; 7)

Подставим абсциссу точки $x = \sqrt{3}-1$ в уравнение функции и вычислим соответствующее значение $y$:

$y = (\sqrt{3}-1)^2 + 2(\sqrt{3}-1) + 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и распределительный закон:

$y = ((\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2) + (2\sqrt{3} - 2) + 5$

$y = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{3} - 2 + 5$

$y = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$y = 4 - 2 + 5 = 7$

Полученное значение $y = 7$ совпадает с ординатой точки C. Поскольку $7 = 7$, точка лежит на графике.

Ответ: точка C принадлежит графику функции.

615. Упростите выражение:

а) $ \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x} $

б) $ \sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $

а) $ \frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \sqrt{x} $

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Числитель дроби $x - y$ можно представить как разность квадратов, так как $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$ (при условии $x \ge 0, y \ge 0$).

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \sqrt{x} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, при условии, что он не равен нулю, то есть $x \neq y$:

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - \sqrt{x} $

Теперь приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{x} = \sqrt{y} $

Ответ: $ \sqrt{y} $

б) $ \sqrt{x} - \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $

Аналогично пункту а), представим числитель дроби $x - y$ как разность квадратов $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} $

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$, который не равен нулю (при $x \ge 0, y \ge 0$ и не одновременно равных нулю):

$ \sqrt{x} - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) $

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{y} $

Ответ: $ \sqrt{y} $

616. Сравните с нулём значение выражения:

а) $\frac{3ab}{a^2+b^2}$, где $a > 0, b < 0;$

б) $\frac{5a^3b^2}{a+b}$, где $a < 0, b < 0.$

а) Чтобы сравнить значение выражения $\frac{3ab}{a^2 + b^2}$ с нулём при условиях $a > 0$ и $b < 0$, определим знаки числителя и знаменателя.
1. Знак числителя ($3ab$):
По условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), а $b$ - отрицательное число ($b < 0$). Произведение положительного числа на отрицательное даёт отрицательное число, то есть $ab < 0$. Так как множитель $3$ положителен, то и весь числитель $3ab$ будет отрицательным: $3ab < 0$.
2. Знак знаменателя ($a^2 + b^2$):
Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, оба числа не равны нулю. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Следовательно, $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел также является положительным числом: $a^2 + b^2 > 0$.
3. Знак всего выражения:
Мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно.
Следовательно, $\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

б) Чтобы сравнить значение выражения $\frac{5a^3b^2}{a + b}$ с нулём при условиях $a < 0$ и $b < 0$, определим знаки числителя и знаменателя.
1. Знак числителя ($5a^3b^2$):
По условию, $a$ и $b$ - отрицательные числа.
$a^3$ - это куб отрицательного числа, результат будет отрицательным: $a^3 < 0$.
$b^2$ - это квадрат ненулевого отрицательного числа, результат будет положительным: $b^2 > 0$.
Числитель является произведением положительного числа $5$, отрицательного числа $a^3$ и положительного числа $b^2$. Результат такого произведения будет отрицательным: $5a^3b^2 < 0$.
2. Знак знаменателя ($a + b$):
Знаменатель является суммой двух отрицательных чисел $a$ и $b$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна: $a + b < 0$.
3. Знак всего выражения:
Мы делим отрицательный числитель на отрицательный знаменатель. Частное от деления отрицательного числа на отрицательное всегда положительно.
Следовательно, $\frac{5a^3b^2}{a + b} > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.