Номер 607, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 607, страница 143.

607. Решите уравнение:

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$;

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$;

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}$;

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$;

д) $1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}$;

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$.

а) $\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $y \neq 2$, $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y-2)(y-3)$:

$\frac{5y(y-3)}{y(y-2)(y-3)} - \frac{4y(y-2)}{y(y-2)(y-3)} = \frac{(y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, при условии, что он не равен нулю:

$5y(y-3) - 4y(y-2) = (y-2)(y-3)$

Раскроем скобки:

$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y = y^2 - 3y - 2y + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6$

Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а числа в другую:

$y^2 - y^2 - 7y + 5y = 6$

$-2y = 6$

$y = -3$

Корень $y=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -3$

б) $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$

ОДЗ: $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x+3} = 0$

Общий знаменатель: $2(x+1)(x+2)(x+3)$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3 \cdot 2(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0$

Числитель дроби должен быть равен нулю:

$(x^2 + 5x + 6) + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0$

$x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 + 2x^2 - 6x^2) + (5x + 8x - 18x) + (6 + 6 - 12) = 0$

$-3x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(-3x - 5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $-3x - 5 = 0$, что дает $x_2 = -\frac{5}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{5}{3}$

в) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 2x = x(x-2)$

$x^3 - 4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot x(x-2) + 1 \cdot (x+2) = 8$

$x^2 - 2x + x + 2 = 8$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ. $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как знаменатель $x+2$ обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ является посторонним корнем.

Ответ: $x = 3$

г) $\frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y}$

Разложим знаменатели на множители:

$y^3 - y = y(y^2 - 1) = y(y-1)(y+1)$

$y - y^2 = y(1-y) = -y(y-1)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{10}{y(y-1)(y+1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y+1}$

ОДЗ: $y \neq 0$, $y \neq 1$, $y \neq -1$.

Общий знаменатель $y(y-1)(y+1)$. Умножим обе части на него:

$10 - 1(y+1) = 1 \cdot y(y-1)$

$10 - y - 1 = y^2 - y$

$9 - y = y^2 - y$

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -3$

д) $1 + \frac{45}{x^2 - 8x + 16} = \frac{14}{x-4}$

Заметим, что знаменатель $x^2 - 8x + 16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Уравнение принимает вид:

$1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}$

ОДЗ: $x \neq 4$.

Общий знаменатель $(x-4)^2$. Умножим обе части на него:

$1 \cdot (x-4)^2 + 45 = 14(x-4)$

$x^2 - 8x + 16 + 45 = 14x - 56$

$x^2 - 8x + 61 = 14x - 56$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 8x - 14x + 61 + 56 = 0$

$x^2 - 22x + 117 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 117 = 484 - 468 = 16$.

$x = \frac{22 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{22 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{22+4}{2} = 13$

$x_2 = \frac{22-4}{2} = 9$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = 13$

е) $\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3$

Разложим знаменатель второй дроби: $3-6x+3x^2 = 3(1-2x+x^2) = 3(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3$

ОДЗ: $x \neq 1$.

Общий знаменатель $3(x-1)^2$. Умножим обе части на него:

$5 \cdot 3(x-1) - 4 = 3 \cdot 3(x-1)^2$

$15(x-1) - 4 = 9(x-1)^2$

$15x - 15 - 4 = 9(x^2 - 2x + 1)$

$15x - 19 = 9x^2 - 18x + 9$

Перенесем все в правую часть:

$0 = 9x^2 - 18x - 15x + 9 + 19$

$9x^2 - 33x + 30 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3x^2 - 11x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 \pm 1}{6}$

$x_1 = \frac{11+1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{11-1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{5}{3}$