Номер 524, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Неполные квадратные уравнения. § 8. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 524, страница 121.

524. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных целых чисел равно $n$. Тогда следующее за ним целое число будет $n+1$.

Произведение этих чисел равно $n(n+1)$, а квадрат меньшего из них равен $n^2$.

Согласно условию задачи, произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа. Можем составить следующее уравнение:

$n(n+1) = 1.5 \cdot n^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$n^2 + n = 1.5n^2$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

$1.5n^2 - n^2 - n = 0$

$0.5n^2 - n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(0.5n - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $n$:

1) $n_1 = 0$

2) $0.5n_2 - 1 = 0 \implies 0.5n_2 = 1 \implies n_2 = \frac{1}{0.5} = 2$

Поскольку и 0, и 2 являются целыми числами, оба решения подходят. Теперь найдем соответствующие пары последовательных чисел.

Случай 1: Если меньшее число $n = 0$.

Тогда следующее число $n+1 = 0+1 = 1$. Искомые числа — 0 и 1.

Проверка: произведение чисел $0 \cdot 1 = 0$. Квадрат меньшего числа $0^2 = 0$. Условие $0 = 1.5 \cdot 0$ выполняется.

Случай 2: Если меньшее число $n = 2$.

Тогда следующее число $n+1 = 2+1 = 3$. Искомые числа — 2 и 3.

Проверка: произведение чисел $2 \cdot 3 = 6$. Квадрат меньшего числа $2^2 = 4$. Условие $6 = 1.5 \cdot 4$ выполняется ($1.5 \cdot 4 = 6$).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары чисел.

Ответ: 0 и 1; 2 и 3.