Номер 507, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 507, страница 115.

507. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}$; б) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}$.

а)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Поскольку в знаменателе три слагаемых, эту операцию придется выполнить дважды.

1. Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{2}+1)+\sqrt{3} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (\sqrt{2}+1)-\sqrt{3} $. Умножим на него числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $:

$ \frac{1}{(\sqrt{2}+1)+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{2}+1)-\sqrt{3})}{((\sqrt{2}+1)+\sqrt{3})((\sqrt{2}+1)-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{3})^2} $

2. Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 3 = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - 3 = 3 + 2\sqrt{2} - 3 = 2\sqrt{2} $

3. Дробь принимает вид:

$ \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $

4. В знаменателе все еще присутствует иррациональность $ \sqrt{2} $. Чтобы от нее избавиться, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{(\sqrt{2}+1-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $

Знаменатель стал рациональным числом.

Ответ: $ \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} $

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту для дроби $ \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2} $.

1. Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{5}+2)-\sqrt{3} $. Сопряженным выражением будет $ (\sqrt{5}+2)+\sqrt{3} $. Умножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{1}{(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ((\sqrt{5}+2)+\sqrt{3})}{((\sqrt{5}+2)-\sqrt{3})((\sqrt{5}+2)+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{3})^2} $

2. Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{5}+2)^2 - (\sqrt{3})^2 = ((\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot 2 + 2^2) - 3 = (5 + 4\sqrt{5} + 4) - 3 = 9 + 4\sqrt{5} - 3 = 6 + 4\sqrt{5} $

3. Дробь принимает вид:

$ \frac{\sqrt{5}+2+\sqrt{3}}{6+4\sqrt{5}} $

4. В знаменателе осталась иррациональность. Сопряженным к $ 6+4\sqrt{5} $ является $ 6-4\sqrt{5} $. Домножим на него числитель и знаменатель:

$ \frac{(\sqrt{5}+2+\sqrt{3}) \cdot (6-4\sqrt{5})}{(6+4\sqrt{5}) \cdot (6-4\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{5}+2+\sqrt{3})(6-4\sqrt{5})}{6^2 - (4\sqrt{5})^2} $

5. Вычислим значения числителя и знаменателя отдельно. Знаменатель:

$ 6^2 - (4\sqrt{5})^2 = 36 - (16 \cdot 5) = 36 - 80 = -44 $

Числитель:

$ (\sqrt{5}+2+\sqrt{3})(6-4\sqrt{5}) = \sqrt{5}\cdot 6 + \sqrt{5}(-4\sqrt{5}) + 2\cdot 6 + 2(-4\sqrt{5}) + \sqrt{3}\cdot 6 + \sqrt{3}(-4\sqrt{5}) $

$ = 6\sqrt{5} - 20 + 12 - 8\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $

$ = (-20+12) + (6\sqrt{5}-8\sqrt{5}) + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} = -8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15} $

6. Соберем дробь и упростим ее, разделив числитель и знаменатель на -2:

$ \frac{-8 - 2\sqrt{5} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{15}}{-44} = \frac{-2(4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15})}{-2 \cdot 22} = \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $

Ответ: $ \frac{4 + \sqrt{5} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22} $