Номер 501, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 501, страница 114.

501. Найдите значение дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x+y+2}$ при $x = 3+\sqrt{5}$ и $y = 3-\sqrt{5}$.

Для нахождения значения дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}$ при заданных значениях $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$, удобнее сначала упростить выражение, вычислив значения $x+y$ и $xy$, поскольку $x$ и $y$ являются сопряженными числами.

1. Найдем сумму $x+y$:

$x + y = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6$.

2. Найдем произведение $xy$:

Для вычисления произведения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$xy = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

3. Преобразуем числитель и знаменатель дроби:

Знаменатель дроби: $x + y + 2$. Подставим найденное значение $x+y=6$:
$x + y + 2 = 6 + 2 = 8$.

Числитель дроби: $x^2 - 3xy + y^2$. Выразим $x^2 + y^2$ через $(x+y)^2$ и $xy$.
Мы знаем, что $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, откуда $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим это в выражение числителя:
$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 3xy = ((x+y)^2 - 2xy) - 3xy = (x+y)^2 - 5xy$.

4. Вычислим значение преобразованного выражения:

Теперь подставим найденные значения $x+y=6$ и $xy=4$ в преобразованную дробь:
$\frac{(x+y)^2 - 5xy}{x+y+2} = \frac{6^2 - 5 \cdot 4}{8} = \frac{36 - 20}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2.