Номер 494, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 494, страница 114.

494. Упростите выражение:

a) $(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x)$;

б) $(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$;

В) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})$;

Г) $(x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})$.

а) $(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае, пусть $a = 1$ и $b = \sqrt{x}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(1 + \sqrt{x} + x)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$: $a^2 = 1^2 = 1$; $ab = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$; $b^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.

Действительно, вторая скобка равна $1 + \sqrt{x} + x$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x) = 1^3 - (\sqrt{x})^3 = 1 - x\sqrt{x}$.

Ответ: $1 - x\sqrt{x}$.

б) $(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В нашем случае, пусть $a$ из формулы равно $\sqrt{a}$ из выражения, а $b$ из формулы равно $2$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a - 2\sqrt{a} + 4)$ выражению $((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2)$: $(\sqrt{a})^2 = a$; $\sqrt{a} \cdot 2 = 2\sqrt{a}$; $2^2 = 4$.

Действительно, вторая скобка равна $a - 2\sqrt{a} + 4$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4) = (\sqrt{a})^3 + 2^3 = a\sqrt{a} + 8$.

Ответ: $a\sqrt{a} + 8$.

в) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(m + \sqrt{mn} + n)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$: $a^2 = (\sqrt{m})^2 = m$; $ab = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$; $b^2 = (\sqrt{n})^2 = n$.

Действительно, вторая скобка равна $m + \sqrt{mn} + n$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n) = (\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

г) $(x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(x + \sqrt{y})(x^2 - x\sqrt{y} + y)$.

В нашем случае, пусть $a = x$ и $b = \sqrt{y}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 - x\sqrt{y} + y)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$: $a^2 = x^2$; $ab = x \cdot \sqrt{y} = x\sqrt{y}$; $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$.

Действительно, вторая скобка равна $x^2 - x\sqrt{y} + y$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(x + \sqrt{y})(x^2 - x\sqrt{y} + y) = x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}$.

Ответ: $x^3 + y\sqrt{y}$.