Номер 491, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 491, страница 113.

491. Сравните числа:

а) $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$;

б) $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$;

в) $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$;

г) $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$.

а) Чтобы сравнить числа $0,2\sqrt{200}$ и $10\sqrt{8}$, приведем их к более простому виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в каждом выражении.
Упростим первое число: $0,2\sqrt{200} = 0,2\sqrt{100 \cdot 2} = 0,2 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 0,2 \cdot 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Упростим второе число: $10\sqrt{8} = 10\sqrt{4 \cdot 2} = 10 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Теперь сравним полученные выражения: $2\sqrt{2}$ и $20\sqrt{2}$.
Так как $2 < 20$, и $\sqrt{2}$ — положительное число, то $2\sqrt{2} < 20\sqrt{2}$.
Следовательно, $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.
Ответ: $0,2\sqrt{200} < 10\sqrt{8}$.

б) Чтобы сравнить числа $7\sqrt{\frac{32}{49}}$ и $0,8\sqrt{50}$, упростим каждое из них.
Упростим первое число: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{7} = 7 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{7} = 4\sqrt{2}$.
Упростим второе число: $0,8\sqrt{50} = 0,8\sqrt{25 \cdot 2} = 0,8 \cdot 5\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Сравним полученные выражения: $4\sqrt{2}$ и $4\sqrt{2}$.
Они равны.
Следовательно, $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.
Ответ: $7\sqrt{\frac{32}{49}} = 0,8\sqrt{50}$.

в) Сравним числа $0,5\sqrt{108}$ и $9\sqrt{3}$. Упростим первое выражение.
$0,5\sqrt{108} = 0,5\sqrt{36 \cdot 3} = 0,5 \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Теперь сравним $3\sqrt{3}$ и $9\sqrt{3}$.
Так как $3 < 9$, то $3\sqrt{3} < 9\sqrt{3}$.
Следовательно, $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.
Ответ: $0,5\sqrt{108} < 9\sqrt{3}$.

г) Сравним числа $\frac{5}{2}\sqrt{63}$ и $4,5\sqrt{28}$. Упростим каждое выражение.
Упростим первое число: $\frac{5}{2}\sqrt{63} = \frac{5}{2}\sqrt{9 \cdot 7} = \frac{5}{2} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{15}{2}\sqrt{7} = 7,5\sqrt{7}$.
Упростим второе число: $4,5\sqrt{28} = 4,5\sqrt{4 \cdot 7} = 4,5 \cdot 2\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$.
Теперь сравним $7,5\sqrt{7}$ и $9\sqrt{7}$.
Так как $7,5 < 9$, то $7,5\sqrt{7} < 9\sqrt{7}$.
Следовательно, $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt{63} < 4,5\sqrt{28}$.