Номер 484, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 484, страница 112.

484. При каких значениях переменной верно равенство:

а) $\sqrt{y^4} = y^2;$

б) $\sqrt{x^{12}} = x^6;$

в) $\sqrt{x^6} = x^3;$

г) $\sqrt{c^{10}} = -c^5;$

д) $\sqrt{a^{14}} = -a^7;$

е) $\sqrt{b^8} = b^4?$

а) Рассмотрим равенство $\sqrt{y^4} = y^2$. Основное свойство арифметического квадратного корня гласит: $\sqrt{A^2} = |A|$. Преобразуем левую часть исходного равенства, представив подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$. Применив указанное свойство, где в качестве $A$ выступает $y^2$, получаем $|y^2|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|y^2| = y^2$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно, то есть $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$. По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, равенство $|y^2| = y^2$ верно при любых значениях $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

б) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$. Используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$, преобразуем левую часть: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$. Исходное равенство можно переписать в виде $|x^6| = x^6$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Так как $x^6$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению. Следовательно, равенство верно при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

в) Рассмотрим равенство $\sqrt{x^6} = x^3$. Преобразуем левую часть, используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. Равенство принимает вид $|x^3| = x^3$. По определению модуля, равенство $|A| = A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $A \ge 0$. В нашем случае это означает, что должно выполняться условие $x^3 \ge 0$. Неравенство $x^3 \ge 0$ справедливо для всех неотрицательных значений $x$.
Ответ: $x \ge 0$.

г) Рассмотрим равенство $\sqrt{c^{10}} = -c^5$. Преобразуем левую часть: $\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$. Исходное равенство принимает вид $|c^5| = -c^5$. По определению модуля, равенство $|A| = -A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $A \le 0$. Применительно к нашему случаю, это означает, что должно выполняться условие $c^5 \le 0$. Поскольку показатель степени 5 нечетный, неравенство $c^5 \le 0$ справедливо для всех неположительных значений $c$.
Ответ: $c \le 0$.

д) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^{14}} = -a^7$. Используя свойство $\sqrt{A^2} = |A|$, преобразуем левую часть: $\sqrt{a^{14}} = \sqrt{(a^7)^2} = |a^7|$. Равенство принимает вид $|a^7| = -a^7$. Равенство вида $|A| = -A$ истинно, если выражение под модулем неположительно, то есть $A \le 0$. Следовательно, нам необходимо, чтобы выполнялось условие $a^7 \le 0$. Поскольку показатель степени 7 нечетный, неравенство $a^7 \le 0$ выполняется при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

е) Рассмотрим равенство $\sqrt{b^8} = b^4$. Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt{b^8} = \sqrt{(b^4)^2} = |b^4|$. Исходное равенство эквивалентно $|b^4| = b^4$. Выражение $b^4$ имеет четный показатель степени, поэтому оно всегда неотрицательно ($b^4 \ge 0$) для любого действительного числа $b$. Модуль неотрицательного выражения равен самому выражению, поэтому равенство $|b^4| = b^4$ является верным для всех значений $b$.
Ответ: $b$ - любое число.