Номер 486, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 486, страница 113.

486. Постройте график функции $y = \sqrt{|x|}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x|}$ проанализируем её свойства и построим по частям.

Сначала определим область определения. Выражение под знаком корня, $|x|$, должно быть неотрицательным. Так как модуль любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($|x| \geq 0$), область определения функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Далее проверим функцию на чётность. Найдём значение функции для $-x$: $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Благодаря свойству симметрии, мы можем построить график для $x \geq 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY, чтобы получить вторую половину графика.

При $x \geq 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график стандартной функции квадратного корня. Построим его по ключевым точкам:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$; точка (0, 0).
- если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$; точка (1, 1).
- если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$; точка (4, 2).
Эта часть графика представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и расположенную в первом координатном квадранте.

При $x < 0$, график является симметричным отражением построенной части относительно оси OY. Таким образом, для каждого значения $y$ у нас будет два противоположных значения $x$. Ключевые точки для этой части графика:
- точка (-1, 1).
- точка (-4, 2).
Эта часть графика расположена во втором координатном квадранте. Она также соответствует функции $y=\sqrt{-x}$ для $x < 0$.

Объединив обе части, мы получаем итоговый график функции $y = \sqrt{|x|}$, который состоит из двух симметричных ветвей, выходящих из начала координат.

Ответ: График функции $y=\sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Одна ветвь, совпадающая с графиком $y=\sqrt{x}$, расположена в первой координатной четверти ($x \geq 0$). Вторая ветвь, являющаяся зеркальным отражением первой, расположена во второй координатной четверти ($x < 0$). Обе ветви выходят из начала координат, точки (0, 0).