Номер 485, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 485, страница 112.

485. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$;

б) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$;

в) $y = x\sqrt{x^2}$;

г) $y = -x\sqrt{x^2}$.

а) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$

Первым шагом упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): в знаменателе находится переменная $x$, поэтому $x$ не может быть равен нулю. ОДЗ: $x \neq 0$.

Теперь рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция упрощается до $y = \frac{x}{x} = 1$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция упрощается до $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Следовательно, график функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y = 1$ при $x > 0$;
• горизонтальный луч $y = -1$ при $x < 0$.

Так как $x=0$ не входит в область определения, на графике в точке с абсциссой $0$ будет разрыв. Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ не принадлежат графику, их принято изображать "выколотыми" (в виде пустого кружка).

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: прямая $y=1$ для $x>0$ и прямая $y=-1$ для $x<0$. В точке $x=0$ функция не определена.

б) $y = \frac{-2\sqrt{x^2}}{x}$

Упростим данное выражение. Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $y = \frac{-2|x|}{x}$.

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2x}{x} = -2$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \frac{-2(-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$.

График этой функции также состоит из двух горизонтальных лучей. В точке $x=0$ функция не определена, поэтому на графике в точках $(0, 2)$ и $(0, -2)$ будут выколотые точки.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: прямая $y=2$ для $x<0$ и прямая $y=-2$ для $x>0$. В точке $x=0$ функция не определена.

в) $y = x\sqrt{x^2}$

Сначала упростим формулу функции, применив тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Получим: $y = x|x|$.

Область определения функции (ОДЗ): выражение имеет смысл для любых действительных значений $x$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух интервалов:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. Графиком на этом промежутке является правая ветвь параболы $y=x^2$, выходящая из начала координат.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Графиком на этом промежутке является левая ветвь параболы $y=-x^2$, также проходящая через начало координат.

Итоговый график представляет собой комбинацию двух ветвей парабол, которые плавно соединяются в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это график параболы $y=x^2$, а для $x < 0$ это график параболы $y=-x^2$.

г) $y = -x\sqrt{x^2}$

Упростим выражение, используя $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция преобразуется к виду: $y = -x|x|$.

Область определения функции (ОДЗ): функция определена для всех действительных чисел. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Раскроем модуль, разбив на два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot x = -x^2$. Графиком на этом промежутке является правая ветвь параболы $y=-x^2$, направленной ветвями вниз.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x \cdot (-x) = x^2$. Графиком на этом промежутке является левая ветвь параболы $y=x^2$, направленной ветвями вверх.

График состоит из двух частей парабол, соединенных в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x \ge 0$ это график параболы $y=-x^2$, а для $x < 0$ это график параболы $y=x^2$.