Номер 479, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 479, страница 112.

479. Известно, что $a < 0$ и $b < 0$. Представьте выражение:

а) $\sqrt{ab}$ в виде произведения корней;

б) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в виде частного корней.

а)

По условию задачи, переменные $a$ и $b$ являются отрицательными числами, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Следовательно, их произведение $ab$ будет положительным числом, и квадратный корень $\sqrt{ab}$ определен в области действительных чисел.

Стандартное свойство корня из произведения, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, применимо только для неотрицательных значений $x$ и $y$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательны, мы не можем записать $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, так как $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ не определены в области действительных чисел.

Чтобы правильно представить выражение, воспользуемся тем, что если $a < 0$, то $-a > 0$. Аналогично, если $b < 0$, то $-b > 0$. Мы можем переписать произведение $ab$ следующим образом:
$ab = (-a)(-b)$.

Теперь подкоренное выражение является произведением двух положительных чисел ($-a$ и $-b$). Для них свойство корня из произведения справедливо:
$\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.

Это и есть представление выражения $\sqrt{ab}$ в виде произведения корней при заданных условиях.

Ответ: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

б)

Аналогично пункту а), по условию $a < 0$ и $b < 0$. Это означает, что их частное $\frac{a}{b}$ является положительным числом, и выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ определено.

Свойство корня из частного, $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$, применимо только для $x \ge 0$ и $y > 0$. Так как $a$ и $b$ отрицательны, напрямую это свойство использовать нельзя.

Преобразуем дробь под корнем. Умножим числитель и знаменатель на $-1$, что не изменит значения дроби:
$\frac{a}{b} = \frac{-1 \cdot a}{-1 \cdot b} = \frac{-a}{-b}$.

Теперь в дроби $\frac{-a}{-b}$ и числитель ($-a$), и знаменатель ($-b$) являются положительными числами. Для них свойство корня из частного справедливо:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$.

Таким образом, мы представили выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ в виде частного корней.

Ответ: $\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$