Номер 483, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 483, страница 112.

483. При каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$?

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$, необходимо проанализировать область допустимых значений (ОДЗ) для левой и правой частей равенства.

1. Левая часть: $\sqrt{x^2}$

Подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Следовательно, левая часть равенства определена для всех $x \in \mathbb{R}$. По определению арифметического квадратного корня, корень из квадрата числа равен его модулю:

$\sqrt{x^2} = |x|$

2. Правая часть: $(\sqrt{x})^2$

Выражение $\sqrt{x}$ (арифметический квадратный корень) определено только для неотрицательных значений $x$. Таким образом, область определения правой части — это $x \ge 0$. При выполнении этого условия, возведение корня из $x$ в квадрат дает само число $x$:

$(\sqrt{x})^2 = x$

Определение ОДЗ и решение

Чтобы исходное равенство было верным, переменная $x$ должна принадлежать области определения обеих его частей одновременно. Область определения левой части — это все действительные числа, а правой — только неотрицательные. Пересечением этих двух множеств является промежуток $[0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение на найденной ОДЗ, то есть для $x \ge 0$. Подставим упрощенные выражения в исходное равенство:

$|x| = x$

Согласно определению модуля, равенство $|x| = x$ справедливо для всех неотрицательных чисел. Так как мы и рассматриваем уравнение именно при $x \ge 0$, то оно выполняется для всех значений из своей области допустимых значений.

Вывод

Равенство $\sqrt{x^2} = (\sqrt{x})^2$ верно при всех $x$, для которых оно определено, то есть для всех неотрицательных $x$.

Ответ: $x \ge 0$ (или в виде промежутка $x \in [0; +\infty)$).