Номер 492, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 492, страница 113.

492. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$;

б) $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$;

в) $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$;

г) $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\frac{2}{3}\sqrt{72}$, $\sqrt{30}$ и $7\sqrt{2}$, представим их в виде $\sqrt{A}$, внеся множитель под знак корня. Сравнение чисел будет основано на сравнении их подкоренных выражений: чем больше подкоренное выражение, тем больше само число.

Преобразуем каждое число:

$\frac{2}{3}\sqrt{72} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 72} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 72} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$.

$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.

Число $\sqrt{30}$ уже представлено в нужном виде.

Теперь у нас есть числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$ и $\sqrt{98}$. Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $30 < 32 < 98$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{30}, \frac{2}{3}\sqrt{72}, 7\sqrt{2}$.

б) Чтобы расположить в порядке возрастания числа $5\sqrt{\frac{7}{2}}$, $\sqrt{17}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{62}$, внесем множители под знак корня.

Преобразуем числа:

$5\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{25 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{87,5}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{62} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 62} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 62} = \sqrt{\frac{31}{2}} = \sqrt{15,5}$.

Число $\sqrt{17}$ уже представлено в нужном виде.

Сравниваем подкоренные выражения полученных чисел $\sqrt{87,5}$, $\sqrt{17}$ и $\sqrt{15,5}$: $15,5 < 17 < 87,5$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{62}, \sqrt{17}, 5\sqrt{\frac{7}{2}}$.

в) Для сравнения чисел $8\sqrt{0,2}$, $\sqrt{41}$ и $\frac{2}{5}\sqrt{250}$ приведем их к виду $\sqrt{A}$.

Выполним преобразования:

$8\sqrt{0,2} = \sqrt{8^2 \cdot 0,2} = \sqrt{64 \cdot 0,2} = \sqrt{12,8}$.

$\frac{2}{5}\sqrt{250} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot 250} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot 250} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.

Число $\sqrt{41}$ не требует преобразований.

Сравним подкоренные выражения: $12,8 < 40 < 41$.

Следовательно, верный порядок возрастания: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

Ответ: $8\sqrt{0,2}, \frac{2}{5}\sqrt{250}, \sqrt{41}$.

г) Чтобы расположить в порядке возрастания числа $12\sqrt{0,5}$, $\sqrt{89}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{160}$, внесем множители под знак корня.

Преобразуем выражения:

$12\sqrt{0,5} = \sqrt{12^2 \cdot 0,5} = \sqrt{144 \cdot 0,5} = \sqrt{72}$.

$\frac{3}{4}\sqrt{160} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 \cdot 160} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 160} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.

Число $\sqrt{89}$ уже представлено в нужном виде.

Сравниваем подкоренные выражения $72, 89, 90$. Так как $72 < 89 < 90$, то и $\sqrt{72} < \sqrt{89} < \sqrt{90}$.

В результате получаем следующий порядок возрастания для исходных чисел: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.

Ответ: $12\sqrt{0,5}, \sqrt{89}, \frac{3}{4}\sqrt{160}$.