Номер 499, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Квадратные корни - номер 499, страница 114.

499. Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

а) $ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} $;

б) $ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} $.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей.

$ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} = \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}+5) - 1 \cdot (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} $

Знаменатель представляет собой произведение сопряженных выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) = (3\sqrt{2})^2 - 5^2 = 9 \cdot 2 - 25 = 18 - 25 = -7 $

Теперь упростим числитель:

$ (3\sqrt{2}+5) - (3\sqrt{2}-5) = 3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} + 5 = 10 $

Подставим полученные значения числителя и знаменателя обратно в выражение:

$ \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} $

Полученное число $-\frac{10}{7}$ является отношением двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. Следовательно, это число является рациональным, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $-\frac{10}{7}$, что является рациональным числом.

б) Выполним аналогичные действия для второго выражения. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (7-2\sqrt{6}) + 1 \cdot (7+2\sqrt{6})}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 $

Теперь упростим числитель:

$ (7-2\sqrt{6}) + (7+2\sqrt{6}) = 7 - 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6} = 14 $

Подставим полученные значения в дробь:

$ \frac{14}{25} $

Число $\frac{14}{25}$ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное. Доказательство завершено.

Ответ: значение выражения равно $\frac{14}{25}$, что является рациональным числом.