Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

493. Выполните умножение:

a) $\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{b});$

б) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x};$

в) $\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b});$

г) $(\sqrt{m}-\sqrt{n})\sqrt{mn};$

д) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(2\sqrt{x}-\sqrt{y});$

е) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(3\sqrt{a}+2\sqrt{b});$

ж) $(2\sqrt{a}+\sqrt{b})(3\sqrt{a}-2\sqrt{b});$

з) $(4\sqrt{x}-\sqrt{2x})(\sqrt{x}-\sqrt{2x}).$

а) Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $c(a-b)=ca-cb$.

$\sqrt{x}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{b}$

По свойству $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$ получаем:

$\sqrt{xa} - \sqrt{xb} = \sqrt{ax} - \sqrt{bx}$

Ответ: $\sqrt{ax} - \sqrt{bx}$

б) Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $(a+b)c=ac+bc$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{y} \cdot \sqrt{x}$

Используя свойства $\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} = m$ и $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$, получаем:

$x + \sqrt{yx} = x + \sqrt{xy}$

Ответ: $x + \sqrt{xy}$

в) Раскроем скобки по распределительному свойству.

$\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{ab} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{ab} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2b} + \sqrt{ab^2}$

Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{m^2n} = m\sqrt{n}$ (при $m \ge 0$):

$a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$

Ответ: $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$

г) Раскроем скобки по распределительному свойству.

$(\sqrt{m} - \sqrt{n})\sqrt{mn} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{mn} - \sqrt{n} \cdot \sqrt{mn} = \sqrt{m^2n} - \sqrt{mn^2}$

Вынесем множители из-под знака корня:

$m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$

Ответ: $m\sqrt{n} - n\sqrt{m}$

д) Перемножим скобки по правилу умножения многочленов $(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd$.

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{y}$

Упростим, помня что $(\sqrt{k})^2 = k$:

$2x - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - y$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + \sqrt{xy} - y$

Ответ: $2x + \sqrt{xy} - y$

е) Перемножим скобки по правилу умножения многочленов.

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b}) = \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} - \sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} - \sqrt{b} \cdot 2\sqrt{b}$

Упростим выражение:

$3a + 2\sqrt{ab} - 3\sqrt{ab} - 2b$

Приведем подобные слагаемые:

$3a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $3a - \sqrt{ab} - 2b$

ж) Перемножим скобки по правилу умножения многочленов.

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})(3\sqrt{a} - 2\sqrt{b}) = 2\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{a} - 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} + \sqrt{b} \cdot 3\sqrt{a} - \sqrt{b} \cdot 2\sqrt{b}$

Упростим выражение:

$6a - 4\sqrt{ab} + 3\sqrt{ab} - 2b$

Приведем подобные слагаемые:

$6a - \sqrt{ab} - 2b$

Ответ: $6a - \sqrt{ab} - 2b$

з) Перемножим скобки по правилу умножения многочленов.

$(4\sqrt{x} - \sqrt{2x})(\sqrt{x} - \sqrt{2x}) = 4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 4\sqrt{x} \cdot \sqrt{2x} - \sqrt{2x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{2x} \cdot \sqrt{2x}$

Упростим, используя свойства корней $\sqrt{m}\sqrt{n} = \sqrt{mn}$ и $(\sqrt{k})^2 = k$:

$4x - 4\sqrt{2x^2} - \sqrt{2x^2} + 2x$

Вынесем $x$ из-под знака корня, так как из условия $x \ge 0$, и $\sqrt{x^2} = x$:

$4x - 4x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x + 2x) - (4x\sqrt{2} + x\sqrt{2}) = 6x - 5x\sqrt{2}$

Ответ: $6x - 5x\sqrt{2}$

495. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение:

а) $x - 4\sqrt{x-1} + 3$

б) $y + 2\sqrt{y+2} + 3$

а) Требуется представить выражение $x - 4\sqrt{x-1} + 3$ в виде квадрата суммы или разности. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В исходном выражении член $-4\sqrt{x-1}$ можно рассматривать как удвоенное произведение $-2ab$. Представим его как $-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1}$. Отсюда можно предположить, что $a = \sqrt{x-1}$ и $b = 2$.

Проверим, можем ли мы получить из исходного выражения сумму квадратов $a^2$ и $b^2$.

$a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$

$b^2 = 2^2 = 4$

Преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Представим число $3$ как $4-1$ и сгруппируем члены:

$x - 4\sqrt{x-1} + 3 = x - 1 - 4\sqrt{x-1} + 4 = (x-1) - 4\sqrt{x-1} + 4$.

Теперь мы видим все части формулы квадрата разности:

$(x-1) - 4\sqrt{x-1} + 4 = (\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-1} + 2^2 = (\sqrt{x-1} - 2)^2$.

Ответ: $(\sqrt{x-1} - 2)^2$.

б) Требуется представить выражение $y + 2\sqrt{y+2} + 3$ в виде квадрата суммы или разности. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В исходном выражении член $2\sqrt{y+2}$ можно рассматривать как удвоенное произведение $2ab$. Представим его как $2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1$. Отсюда можно предположить, что $a = \sqrt{y+2}$ и $b = 1$.

Найдем квадраты этих членов:

$a^2 = (\sqrt{y+2})^2 = y+2$

$b^2 = 1^2 = 1$

Преобразуем исходное выражение, чтобы выделить эти компоненты. Представим число $3$ как $1+2$ и сгруппируем члены:

$y + 2\sqrt{y+2} + 3 = y + 2 + 2\sqrt{y+2} + 1 = (y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1$.

Теперь мы видим все части формулы квадрата суммы:

$(y+2) + 2\sqrt{y+2} + 1 = (\sqrt{y+2})^2 + 2 \cdot \sqrt{y+2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y+2} + 1)^2$.

Ответ: $(\sqrt{y+2} + 1)^2$.

497. Найдите значение выражения:

а) $x^2 - 6$ при $x = 1+\sqrt{5}$;

б) $x^2 - 6x$ при $x = 3-\sqrt{3}$;

в) $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2+\sqrt{3}$;

г) $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6$ при $x = 1 + \sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:
$(1 + \sqrt{5})^2 - 6$
Для раскрытия скобок используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 6x$ при $x = 3 - \sqrt{3}$, можно упростить исходное выражение, выделив полный квадрат. Это позволит избежать громоздких вычислений.
$x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9$
Теперь подставим значение $x = 3 - \sqrt{3}$ в преобразованное выражение:
$((3 - \sqrt{3}) - 3)^2 - 9 = (-\sqrt{3})^2 - 9 = 3 - 9 = -6$.
Ответ: $-6$.

в) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4x + 3$ при $x = 2 + \sqrt{3}$, также воспользуемся методом выделения полного квадрата.
$x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1$
Подставим значение $x = 2 + \sqrt{3}$ в полученное выражение:
$((2 + \sqrt{3}) - 2)^2 - 1 = (\sqrt{3})^2 - 1 = 3 - 1 = 2$.
Ответ: $2$.

г) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 3x + 5$ при $x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$, преобразуем сначала равенство для $x$.
$x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на 2: $2x = 3+\sqrt{2}$
Перенесем 3 в левую часть: $2x - 3 = \sqrt{2}$
Возведем обе части в квадрат: $(2x - 3)^2 = (\sqrt{2})^2$
$4x^2 - 12x + 9 = 2$
Перенесем 2 влево: $4x^2 - 12x + 7 = 0$
Разделим все уравнение на 4: $x^2 - 3x + \frac{7}{4} = 0$
Отсюда мы можем выразить часть искомого выражения: $x^2 - 3x = -\frac{7}{4}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$x^2 - 3x + 5 = (-\frac{7}{4}) + 5 = 5 - \frac{7}{4} = \frac{20}{4} - \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$.
Ответ: $\frac{13}{4}$.

499. Докажите, что значение выражения есть число рациональное:

а) $ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} $;

б) $ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} $.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо упростить данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей.

$ \frac{1}{3\sqrt{2}-5} - \frac{1}{3\sqrt{2}+5} = \frac{1 \cdot (3\sqrt{2}+5) - 1 \cdot (3\sqrt{2}-5)}{(3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5)} $

Знаменатель представляет собой произведение сопряженных выражений, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$ (3\sqrt{2}-5)(3\sqrt{2}+5) = (3\sqrt{2})^2 - 5^2 = 9 \cdot 2 - 25 = 18 - 25 = -7 $

Теперь упростим числитель:

$ (3\sqrt{2}+5) - (3\sqrt{2}-5) = 3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} + 5 = 10 $

Подставим полученные значения числителя и знаменателя обратно в выражение:

$ \frac{10}{-7} = -\frac{10}{7} $

Полученное число $-\frac{10}{7}$ является отношением двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. Следовательно, это число является рациональным, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $-\frac{10}{7}$, что является рациональным числом.

б) Выполним аналогичные действия для второго выражения. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1}{7+2\sqrt{6}} + \frac{1}{7-2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (7-2\sqrt{6}) + 1 \cdot (7+2\sqrt{6})}{(7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6})} $

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ (7+2\sqrt{6})(7-2\sqrt{6}) = 7^2 - (2\sqrt{6})^2 = 49 - 4 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 $

Теперь упростим числитель:

$ (7-2\sqrt{6}) + (7+2\sqrt{6}) = 7 - 2\sqrt{6} + 7 + 2\sqrt{6} = 14 $

Подставим полученные значения в дробь:

$ \frac{14}{25} $

Число $\frac{14}{25}$ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное. Доказательство завершено.

Ответ: значение выражения равно $\frac{14}{25}$, что является рациональным числом.

501. Найдите значение дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x+y+2}$ при $x = 3+\sqrt{5}$ и $y = 3-\sqrt{5}$.

Для нахождения значения дроби $\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}$ при заданных значениях $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$, удобнее сначала упростить выражение, вычислив значения $x+y$ и $xy$, поскольку $x$ и $y$ являются сопряженными числами.

1. Найдем сумму $x+y$:

$x + y = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6$.

2. Найдем произведение $xy$:

Для вычисления произведения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$xy = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

3. Преобразуем числитель и знаменатель дроби:

Знаменатель дроби: $x + y + 2$. Подставим найденное значение $x+y=6$:
$x + y + 2 = 6 + 2 = 8$.

Числитель дроби: $x^2 - 3xy + y^2$. Выразим $x^2 + y^2$ через $(x+y)^2$ и $xy$.
Мы знаем, что $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, откуда $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим это в выражение числителя:
$x^2 - 3xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 3xy = ((x+y)^2 - 2xy) - 3xy = (x+y)^2 - 5xy$.

4. Вычислим значение преобразованного выражения:

Теперь подставим найденные значения $x+y=6$ и $xy=4$ в преобразованную дробь:
$\frac{(x+y)^2 - 5xy}{x+y+2} = \frac{6^2 - 5 \cdot 4}{8} = \frac{36 - 20}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

Ответ: 2.

494. Упростите выражение:

a) $(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x)$;

б) $(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$;

В) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})$;

Г) $(x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})$.

а) $(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае, пусть $a = 1$ и $b = \sqrt{x}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(1 + \sqrt{x} + x)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$: $a^2 = 1^2 = 1$; $ab = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$; $b^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.

Действительно, вторая скобка равна $1 + \sqrt{x} + x$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x) = 1^3 - (\sqrt{x})^3 = 1 - x\sqrt{x}$.

Ответ: $1 - x\sqrt{x}$.

б) $(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В нашем случае, пусть $a$ из формулы равно $\sqrt{a}$ из выражения, а $b$ из формулы равно $2$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(a - 2\sqrt{a} + 4)$ выражению $((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2)$: $(\sqrt{a})^2 = a$; $\sqrt{a} \cdot 2 = 2\sqrt{a}$; $2^2 = 4$.

Действительно, вторая скобка равна $a - 2\sqrt{a} + 4$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4) = (\sqrt{a})^3 + 2^3 = a\sqrt{a} + 8$.

Ответ: $a\sqrt{a} + 8$.

в) $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt{m}$ и $b = \sqrt{n}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(m + \sqrt{mn} + n)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$: $a^2 = (\sqrt{m})^2 = m$; $ab = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$; $b^2 = (\sqrt{n})^2 = n$.

Действительно, вторая скобка равна $m + \sqrt{mn} + n$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n) = (\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

Ответ: $m\sqrt{m} - n\sqrt{n}$.

г) $(x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(x + \sqrt{y})(x^2 - x\sqrt{y} + y)$.

В нашем случае, пусть $a = x$ и $b = \sqrt{y}$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 - x\sqrt{y} + y)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$: $a^2 = x^2$; $ab = x \cdot \sqrt{y} = x\sqrt{y}$; $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$.

Действительно, вторая скобка равна $x^2 - x\sqrt{y} + y$, что соответствует формуле.

Применяя формулу, получаем:

$(x + \sqrt{y})(x^2 - x\sqrt{y} + y) = x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}$.

Ответ: $x^3 + y\sqrt{y}$.

496. Докажите, что:

а) $\sqrt{6+4\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{8\sqrt{3}+19}=\sqrt{3}+4.$

а) Для доказательства равенства $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}$ возведем в квадрат его правую часть. Поскольку обе части равенства являются положительными числами, то равенство будет верным, если квадраты обеих частей равны.
Вычислим квадрат правой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$.
Полученное выражение $6 + 4\sqrt{2}$ равно подкоренному выражению в левой части. Таким образом, исходное равенство является верным.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $\sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4$ также возведем в квадрат его правую часть. Обе части равенства положительны, поэтому достаточно доказать равенство их квадратов.
Вычислим квадрат правой части:
$(\sqrt{3} + 4)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 3 + 8\sqrt{3} + 16 = 19 + 8\sqrt{3}$.
Результат $19 + 8\sqrt{3}$ равен подкоренному выражению в левой части $8\sqrt{3} + 19$ (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

498. Докажите, что значения выражений $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} $ и $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} $ являются натуральными числами.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Чтобы доказать, что значение данного выражения является натуральным числом, вычислим его. Обозначим выражение через $x$:

$x = \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Поскольку корень из положительного числа есть число положительное, сумма двух таких корней $x$ также является положительным числом.

Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$x^2 = (\sqrt{7+4\sqrt{3}})^2 + 2 \cdot \sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} + (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^2$

После возведения в квадрат крайних слагаемых и объединения корней в среднем слагаемом, получим:

$x^2 = (7+4\sqrt{3}) + 2 \cdot \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} + (7-4\sqrt{3})$

Упростим произведение под внутренним корнем, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Подставим полученный результат обратно в выражение для $x^2$:

$x^2 = (7+4\sqrt{3}) + 2 \cdot \sqrt{1} + (7-4\sqrt{3})$

$x^2 = 7+4\sqrt{3} + 2 + 7-4\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые. Иррациональные части $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$x^2 = 7+2+7 = 16$

Поскольку мы установили, что $x > 0$, находим $x$, извлекая положительный квадратный корень из 16:

$x = \sqrt{16} = 4$.

Значение выражения равно 4, а 4 — это натуральное число.

Ответ: 4.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Для доказательства воспользуемся свойством произведения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}$

Выражение под знаком корня является произведением сопряженных иррациональностей, которое можно упростить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt{1} = 1$.

Значение выражения равно 1, а 1 — это натуральное число.

Ответ: 1.

500. Найдите значение выражения:

а) $\frac{1}{11-2\sqrt{30}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}}$;

б) $\frac{5}{3+2\sqrt{2}} + \frac{5}{3-2\sqrt{2}}$;

в) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;

г) $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{11-2\sqrt{30}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})$. Для его вычисления воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Знаменатель: $(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Теперь найдем числитель, домножив числители исходных дробей на соответствующие множители:
Числитель: $1 \cdot (11+2\sqrt{30}) - 1 \cdot (11-2\sqrt{30}) = 11+2\sqrt{30} - 11+2\sqrt{30} = 4\sqrt{30}$.
Таким образом, значение выражения равно $\frac{4\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30}$.
Ответ: $4\sqrt{30}$.

б) В выражении $\frac{5}{3+2\sqrt{2}} + \frac{5}{3-2\sqrt{2}}$ также приведем дроби к общему знаменателю $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$.
Знаменатель, используя формулу разности квадратов: $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Числитель: $5(3-2\sqrt{2}) + 5(3+2\sqrt{2}) = 15 - 10\sqrt{2} + 15 + 10\sqrt{2} = 30$.
В результате получаем: $\frac{30}{1} = 30$.
Ответ: $30$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
Числитель будет равен сумме произведений числителя каждой дроби на знаменатель другой: $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$.
Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$(\sqrt{5}^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{3}^2) + (\sqrt{5}^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{3}^2) = (5-2\sqrt{15}+3) + (5+2\sqrt{15}+3) = 8 - 2\sqrt{15} + 8 + 2\sqrt{15} = 16$.
Итоговое значение: $\frac{16}{2} = 8$.
Ответ: $8$.

г) Данное выражение $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$ решается аналогично предыдущему. Приводим к общему знаменателю.
Знаменатель: $(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100$.
Числитель: $(11+\sqrt{21})^2 + (11-\sqrt{21})^2$.
Раскроем квадраты: $(11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2) + (11^2 - 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{21} + (\sqrt{21})^2) = (121 + 22\sqrt{21} + 21) + (121 - 22\sqrt{21} + 21) = 142 + 22\sqrt{21} + 142 - 22\sqrt{21} = 284$.
Результат: $\frac{284}{100}$. Сократим дробь на 4: $\frac{284 \div 4}{100 \div 4} = \frac{71}{25}$.
Ответ: $\frac{71}{25}$.