Страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

463. Найдите значение выражения:

а) $0.3\sqrt{289}$;

б) $-4\sqrt{0.81}$;

в) $\sqrt{\frac{9}{49}} - 1$;

г) $\frac{0.3}{\sqrt{256}} - \frac{1}{\sqrt{64}}$;

д) $2\sqrt{0.0121} + \sqrt{100}$;

е) $\frac{\sqrt{144}}{6} + \sqrt{2.89}$.

а) $0,3\sqrt{289} = 0,3 \cdot \sqrt{17^2} = 0,3 \cdot 17 = 5,1$.

Ответ: $5,1$.

б) $-4\sqrt{0,81} = -4 \cdot \sqrt{(0,9)^2} = -4 \cdot 0,9 = -3,6$.

Ответ: $-3,6$.

в) $\sqrt{\frac{9}{49}} - 1 = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} - 1 = \frac{3}{7} - 1 = \frac{3}{7} - \frac{7}{7} = \frac{3-7}{7} = -\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$.

г) $\frac{0,3}{\sqrt{256}} - \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{0,3}{16} - \frac{1}{8} = \frac{0,3}{16} - \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{0,3}{16} - \frac{2}{16} = \frac{0,3-2}{16} = \frac{-1,7}{16} = -\frac{17}{160}$.

Ответ: $-\frac{17}{160}$.

д) $2\sqrt{0,0121} + \sqrt{100} = 2 \cdot \sqrt{(0,11)^2} + \sqrt{10^2} = 2 \cdot 0,11 + 10 = 0,22 + 10 = 10,22$.

Ответ: $10,22$.

е) $\frac{\sqrt{144}}{6} + \sqrt{2,89} = \frac{\sqrt{12^2}}{6} + \sqrt{(1,7)^2} = \frac{12}{6} + 1,7 = 2 + 1,7 = 3,7$.

Ответ: $3,7$.

465. Решите уравнение:

а) $5\sqrt{x} = 3$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$;

в) $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$;

г) $\sqrt{x-5} = 4$;

д) $1+\sqrt{2x} = 10$;

е) $3\sqrt{x}-5 = 4$.

а) Исходное уравнение: $5\sqrt{x} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как выражение под знаком корня не может быть отрицательным.
Разделим обе части уравнения на 5, чтобы выделить радикал:
$\sqrt{x} = \frac{3}{5}$.
Так как правая часть уравнения ($\frac{3}{5}$) является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{5})^2$
$x = \frac{9}{25}$.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ: $\frac{9}{25} \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{9}{25}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{1}{\sqrt{3x}} = 1$.
ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе дроби. Следовательно, $3x > 0$, что означает $x > 0$.
Из уравнения следует, что знаменатель равен 1:
$\sqrt{3x} = 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x})^2 = 1^2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $\frac{1}{3} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{1}{4\sqrt{x}} = 2$.
ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть строго положительным, так как корень находится в знаменателе. Таким образом, $x > 0$.
Умножим обе части на знаменатель $4\sqrt{x}$ (который не равен нулю в ОДЗ):
$1 = 2 \cdot 4\sqrt{x}$
$1 = 8\sqrt{x}$.
Выразим радикал:
$\sqrt{x} = \frac{1}{8}$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{8})^2$
$x = \frac{1}{64}$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{1}{64} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{1}{64}$.

г) Исходное уравнение: $\sqrt{x-5} = 4$.
ОДЗ: выражение под знаком корня не может быть отрицательным. $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.
Правая часть уравнения положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-5})^2 = 4^2$
$x-5 = 16$.
Перенесем -5 в правую часть:
$x = 16 + 5$
$x = 21$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $21 \ge 5$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 21$.

д) Исходное уравнение: $1 + \sqrt{2x} = 10$.
ОДЗ: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Сначала изолируем радикал. Перенесем 1 в правую часть:
$\sqrt{2x} = 10 - 1$
$\sqrt{2x} = 9$.
Правая часть положительна, возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x})^2 = 9^2$
$2x = 81$.
Найдем $x$:
$x = \frac{81}{2} = 40.5$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $40.5 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 40.5$.

е) Исходное уравнение: $3\sqrt{x} - 5 = 4$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Изолируем слагаемое с радикалом. Перенесем -5 в правую часть:
$3\sqrt{x} = 4 + 5$
$3\sqrt{x} = 9$.
Разделим обе части на 3:
$\sqrt{x} = \frac{9}{3}$
$\sqrt{x} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $9 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 9$.

467. Может ли:

а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;

б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?

а) Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $-\sqrt{2}$ также иррационально, поскольку произведение иррационального числа $\sqrt{2}$ на рациональное число $-1$ всегда иррационально.

Найдем сумму этих чисел:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

Результатом сложения является число 0. Ноль — это рациональное число, так как его можно представить в виде дроби, например $\frac{0}{1}$.

Другой пример: возьмем иррациональные числа $c = 5 - \pi$ и $d = \pi$. Их сумма $c + d = (5 - \pi) + \pi = 5$. Число 5 также является рациональным.

Таким образом, существуют пары иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

Ответ: да, может.

б) Да, произведение рационального и иррационального чисел может быть рациональным числом. Однако это возможно только в одном特定м случае.

Рассмотрим произведение рационального числа $q$ и иррационального числа $i$.

Случай 1: Рациональное число не равно нулю ($q \neq 0$).
Допустим, что произведение $p = q \cdot i$ является рациональным числом. Так как $q$ — рациональное число и $q \neq 0$, то существует обратное ему число $\frac{1}{q}$, которое также является рациональным. Мы можем выразить $i$ из этого произведения: $i = \frac{p}{q}$. Поскольку $p$ и $q$ — рациональные числа, их частное $\frac{p}{q}$ также будет рациональным числом. Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит нашему начальному условию (что $i$ — иррациональное). Следовательно, наше допущение неверно. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда является иррациональным.

Случай 2: Рациональное число равно нулю ($q = 0$).
Число 0 является рациональным. Возьмем любое иррациональное число, например, $i = \sqrt{3}$. Найдем их произведение:

$q \cdot i = 0 \cdot \sqrt{3} = 0$

Результат равен 0, что является рациональным числом. Таким образом, произведение рационального числа 0 на любое иррациональное число равно 0, т.е. рациональному числу.

Ответ: да, может, если рациональное число равно нулю.

469. Укажите допустимые значения переменной x в выражении:

a) $\sqrt{x^3}$;

б) $\sqrt{x^4}$;

в) $\sqrt{x^2+1}$;

г) $\sqrt{(4-x)^2}$;

д) $\sqrt{-x^2}$;

е) $\sqrt{-x^3}$.

Для нахождения допустимых значений переменной $x$ в выражениях с квадратным корнем необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (больше или равно нулю).

а) Выражение $\sqrt{x^3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x^3 \ge 0$. Так как нечетная степень числа имеет тот же знак, что и само число, данное неравенство равносильно неравенству $x \ge 0$.

Ответ: $x \ge 0$ или $x \in [0, +\infty)$.

б) Для выражения $\sqrt{x^4}$ подкоренное выражение $x^4$ должно быть неотрицательным: $x^4 \ge 0$. Четная степень любого действительного числа ($x^4$) всегда является неотрицательным числом. Поэтому это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) Выражение $\sqrt{x^2+1}$ имеет смысл при $x^2 + 1 \ge 0$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) Для выражения $\sqrt{(4-x)^2}$ подкоренное выражение $(4-x)^2$ должно быть неотрицательным: $(4-x)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как $4-x$ является действительным числом для любого $x$, то $(4-x)^2 \ge 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число, или $x \in (-\infty, +\infty)$.

д) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \le 0$. С другой стороны, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Оба неравенства ($x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$) могут выполняться одновременно только в одном случае: когда $x^2 = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x=0$.

Ответ: $x=0$.

е) Для выражения $\sqrt{-x^3}$ необходимо, чтобы $-x^3 \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$ и изменим его знак: $x^3 \le 0$. Нечетная степень числа ($x^3$) имеет тот же знак, что и само число ($x$). Поэтому неравенство $x^3 \le 0$ равносильно неравенству $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$ или $x \in (-\infty, 0]$.

464. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{5x - 10}$ при $x = 2; 2,2; 5,2; 22;$

б) $\sqrt{6 - 2y}$ при $y = 1; -1,5; -15; -37,5;$

в) $\frac{3 + \sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}}$ при $x = 0; 1; 16; 0,25;$

г) $\sqrt{2a - b}$ при $a = 0, b = 0;$ при $a = 4, b = 7.$

а) Найдем значение выражения $\sqrt{5x-10}$ при заданных значениях $x$.

• При $x = 2$:
  $\sqrt{5 \cdot 2 - 10} = \sqrt{10 - 10} = \sqrt{0} = 0$.

• При $x = 2,2$:
  $\sqrt{5 \cdot 2,2 - 10} = \sqrt{11 - 10} = \sqrt{1} = 1$.

• При $x = 5,2$:
  $\sqrt{5 \cdot 5,2 - 10} = \sqrt{26 - 10} = \sqrt{16} = 4$.

• При $x = 22$:
  $\sqrt{5 \cdot 22 - 10} = \sqrt{110 - 10} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 0; 1; 4; 10.

б) Найдем значение выражения $\sqrt{6-2y}$ при заданных значениях $y$.

• При $y = 1$:
  $\sqrt{6 - 2 \cdot 1} = \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2$.

• При $y = -1,5$:
  $\sqrt{6 - 2 \cdot (-1,5)} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$.

• При $y = -15$:
  $\sqrt{6 - 2 \cdot (-15)} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6$.

• При $y = -37,5$:
  $\sqrt{6 - 2 \cdot (-37,5)} = \sqrt{6 + 75} = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 2; 3; 6; 9.

в) Найдем значение выражения $\frac{3+\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$ при заданных значениях $x$.

• При $x = 0$:
  $\frac{3+\sqrt{0}}{3-\sqrt{0}} = \frac{3+0}{3-0} = \frac{3}{3} = 1$.

• При $x = 1$:
  $\frac{3+\sqrt{1}}{3-\sqrt{1}} = \frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$.

• При $x = 16$:
  $\frac{3+\sqrt{16}}{3-\sqrt{16}} = \frac{3+4}{3-4} = \frac{7}{-1} = -7$.

• При $x = 0,25$:
  $\frac{3+\sqrt{0,25}}{3-\sqrt{0,25}} = \frac{3+0,5}{3-0,5} = \frac{3,5}{2,5} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1,4$.

Ответ: 1; 2; -7; 1,4.

г) Найдем значение выражения $\sqrt{2a-b}$ при заданных значениях $a$ и $b$.

• При $a = 0, b = 0$:
  $\sqrt{2 \cdot 0 - 0} = \sqrt{0 - 0} = \sqrt{0} = 0$.

• При $a = 4, b = 7$:
  $\sqrt{2 \cdot 4 - 7} = \sqrt{8 - 7} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 0; 1.

466. Решите уравнение $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=2$.

Дано иррациональное уравнение:
$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$

Для решения данного уравнения будем последовательно избавляться от иррациональности (корней) путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
1. Для самого внутреннего корня: $x \ge 0$.
2. Для среднего корня: $2 + \sqrt{x}$. Так как по первому условию $\sqrt{x} \ge 0$, то $2 + \sqrt{x} \ge 2$, что всегда положительно.
3. Для внешнего корня: $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}$. Это выражение также всегда положительно, так как $\sqrt{2 + \sqrt{x}} > 0$.
Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Теперь изолируем оставшийся радикал, перенеся 1 в правую часть уравнения:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$
$2 + \sqrt{x} = 9$

Изолируем последний радикал:
$\sqrt{x} = 9 - 2$
$\sqrt{x} = 7$

И в последний раз возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=49$ области допустимых значений.
Поскольку $49 \ge 0$, корень входит в ОДЗ.

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=49$ в исходное уравнение:
$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{49}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2 + 7}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
$2 = 2$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 49.

468. Приведите пример уравнения вида $x^2 = a$, которое:

а) имеет два рациональных корня;

б) имеет два иррациональных корня;

в) не имеет корней.

а) имеет два рациональных корня;
Уравнение вида $x^2 = a$ имеет два действительных корня, если $a > 0$. Этими корнями являются $x = \pm\sqrt{a}$. Чтобы корни были рациональными, число $a$ должно быть полным квадратом рационального числа. Например, если мы выберем $a = 9$, то $a$ является квадратом рационального числа 3. Уравнение примет вид $x^2 = 9$. Его корни: $x_1 = \sqrt{9} = 3$ и $x_2 = -\sqrt{9} = -3$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 = 9$.

б) имеет два иррациональных корня;
Для того чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$), но не должен быть квадратом рационального числа. Возьмем, к примеру, $a = 2$. Уравнение примет вид $x^2 = 2$. Его корни: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Оба корня являются иррациональными числами, так как 2 не является полным квадратом.
Ответ: $x^2 = 2$.

в) не имеет корней.
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, если в уравнении $x^2 = a$ коэффициент $a$ будет отрицательным числом ($a < 0$), то равенство не сможет выполняться ни при каком действительном значении $x$. Таким образом, уравнение не будет иметь действительных корней. Например, выберем $a = -1$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет корней в множестве действительных чисел.
Ответ: $x^2 = -1$.

470. При каких значениях a и b имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{ab}$;

б) $\sqrt{-ab}$;

в) $\sqrt{a^2b}$;

г) $\sqrt{a^2b^2}$;

д) $\sqrt{-ab^2}$;

е) $\sqrt{-a^2b^2}$?

а) Выражение $\sqrt{ab}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ab \ge 0$. Это неравенство выполняется в двух случаях: когда оба множителя неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$), либо когда оба множителя неположительны ($a \le 0$ и $b \le 0$). Таким образом, переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака или равны нулю.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

б) Выражение $\sqrt{-ab}$ имеет смысл, когда $-ab \ge 0$. Умножив обе части неравенства на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $ab \le 0$. Это неравенство справедливо, когда множители $a$ и $b$ имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$, или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

в) Выражение $\sqrt{a^2b}$ имеет смысл, когда $a^2b \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, рассмотрим два случая. Если $a = 0$, то $a^2b = 0$, и выражение имеет смысл при любом $b$. Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и для выполнения неравенства $a^2b \ge 0$ необходимо, чтобы $b \ge 0$. Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $b \ge 0$ (при любом $a$) или если $a=0$ (при любом $b$).
Ответ: $b \ge 0$, или $a=0$.

г) Выражение $\sqrt{a^2b^2}$ имеет смысл, когда $a^2b^2 \ge 0$. Это выражение можно записать как $(ab)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(ab)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.
Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

д) Выражение $\sqrt{-ab^2}$ имеет смысл, когда $-ab^2 \ge 0$, что эквивалентно $ab^2 \le 0$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного значения $b$, рассмотрим два случая. Если $b=0$, то $ab^2 = 0$, и выражение имеет смысл при любом $a$. Если $b \ne 0$, то $b^2 > 0$, и для выполнения неравенства $ab^2 \le 0$ необходимо, чтобы $a \le 0$. Объединяя эти условия, получаем, что выражение имеет смысл, если $a \le 0$ (при любом $b$) или если $b=0$ (при любом $a$).
Ответ: $a \le 0$, или $b=0$.

е) Выражение $\sqrt{-a^2b^2}$ имеет смысл, когда $-a^2b^2 \ge 0$. Это можно переписать как $-(ab)^2 \ge 0$. Поскольку $(ab)^2$ всегда неотрицательно ($(ab)^2 \ge 0$), то $-(ab)^2$ всегда неположительно ($-(ab)^2 \le 0$). Следовательно, неравенство $-(ab)^2 \ge 0$ выполняется только в том случае, когда $-(ab)^2 = 0$. Это означает, что $(ab)^2 = 0$, что в свою очередь равносильно $ab=0$. Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю.
Ответ: $a=0$ или $b=0$.